Må jeg bruge TI-Nspire til den skriftlige matematikprøve på STX A?

Til Delprøve 2 (med hjælpemidler) må du bruge TI-Nspire eller andet CAS-værktøj. Til Delprøve 1 er kun blyant, papir og den udleverede formelsamling tilladt.

Hvad er forskellen på Delprøve 1 og Delprøve 2 på STX A?

Delprøve 1 (1 time) er uden hjælpemidler — du skal vise håndregning. Delprøve 2 (4 timer) er med alle hjælpemidler, så her bruger du typisk TI-Nspire, GeoGebra, formelsamlingen og noter.

Hvilken formelsamling må jeg bruge på STX A?

Den officielle 'Matematisk Formelsamling STX A' fra Børne- og Undervisningsministeriet (2024-læreplanen). Matformler dækker præcis det samme stof — perfekt til at slå formler op under eksamensforberedelsen.

Hvordan løses opgaverne fra de vejledende enkeltopgaver?

Her finder du fulde løsninger til alle vejledende enkeltopgaver fra december 2025. Delprøve 1-opgaver løses med håndregning og mellemregninger. Delprøve 2-opgaver vises trin-for-trin med TI-Nspire-kommandoer og menupunkter.

Hvilke emner kommer til STX A skriftlig eksamen?

Tal og algebra, geometri, analytisk plan- og rumgeometri, funktioner og differentialregning, integralregning, differentialligninger samt kombinatorik og sandsynlighedsregning — alle dækket her med formler og løste opgaver.

Matematik A — Formelsamling & vejledende opgaver | STX

Læs først

Sådan bruger du denne side til eksamen

Delprøve 1 · uden hjælpemidler

1 time, ingen hjælpemidler. Du skal kunne reducere, ligningsløse i hånden, og kende standardformler. Alle løsninger her er vist med fulde mellemregninger.

Delprøve 2 · alle hjælpemidler

4 timer, alt tilladt. Vi viser TI-Nspire-kommandoer (solve, derivative, ∫, crossP …) sammen med menupunkter. Skriv altid en konklusion på dansk med enhed.

💡 God besvarelse: skriv først formlen op, indsæt så tallene, vis mellemregningen, og slut med en konklusion i hele sætninger der bruger ord fra opgaveteksten.

Del 1

Formelsamling — STX A

Alle formler fra den officielle 'Matematisk Formelsamling STX A' (oktober 2025), med kort eksempel på brug ved eksamen.

💡 Formelnumrene (1)–(213) følger den officielle "Matematisk formelsamling stx A" (Børne- og Undervisningsministeriet, oktober 2025). Brug søgefeltet ovenfor til at hoppe direkte til et emne.

Procent- og rentesregning

Vækstrate kan angives i procent (p %) eller som decimaltal (r):

(1)r = p100

Fx svarer 7 % til r = 7/100 = 0,07.

Fremskrivningsfaktor F (også kaldet vækstfaktor):

(2)F = 1 + r

Slutværdi S ud fra begyndelsesværdi B:

(3)S = B · (1 + r) = B · F

(4)r = S − BB

Kapitalformlen

Slutkapital K efter n terminer med rentefod r pr. termin og startkapital K₀:

(5)K = K₀ · (1 + r)ⁿ

Annuitetsopsparing

Saldo A umiddelbart efter den sidste af n ens indbetalinger b:

(6)A = b · (1 + r)ⁿ − 1r

Annuitetslån

Terminsydelse y ved hovedstol G, rentefod r og n terminsydelser:

(7)y = G · r1 − (1 + r)⁻ⁿ

Eksempel

10.000 kr indsættes til 4 % p.a. i 5 år: K = 10.000 · 1,04⁵ ≈ 12.166,53 kr.

Geometri — trekanter

Ensvinklede trekanter

To ensvinklede trekanter har proportionale ensliggende sider. Skalafaktor k (forstørrelsesfaktor) opfylder:

(8)k = a₁a = b₁b = c₁c

(9)a₁ = k · a, b₁ = k · b, c₁ = k · c

Enhedscirklen

For en vinkel v ligger punktet P(cos v, sin v) på enhedscirklen. Tangens aflæses fra tangentlinjen i (1, 0):

(10)cos(v) = x-koordinaten til P

(11)sin(v) = y-koordinaten til P

(12)tan(v) = sin vcos v

Retvinklet trekant ABC

Den rette vinkel ligger i C. c er hypotenusen; a er modstående side til ∠A; b er hosliggende til ∠A.

(13)a² + b² = c² (Pythagoras)

(14)cos(A) = bc = hosliggende katetehypotenusen

(15)sin(A) = ac = modstående katetehypotenusen

(16)tan(A) = ab = modstående katetehosliggende katete

Vilkårlige trekanter

Sinusrelationen — gælder også for stumpvinklede trekanter:

(17)asin A = bsin B = csin C

Cosinusrelationen — generaliseret Pythagoras:

(18)a² = b² + c² − 2·b·c·cos(A)

(19)b² = a² + c² − 2·a·c·cos(B)

(20)c² = a² + b² − 2·a·b·cos(C)

Vinkelsum:

(21)A + B + C = 180°

Trekantens areal T med højde h på grundlinje g:

(22)T = ½ · h · g

(23)T = ½ · a · b · sin(C)

Midtnormal

Midtnormalen n til linjestykket AB er den rette linje gennem midtpunktet af AB vinkelret på AB. Alle punkter på n har samme afstand til A og B.

Eksempel

Trekant med b = 7, c = 9, ∠A = 60°: T = ½·7·9·sin 60° ≈ 27,28.

Funktioner

Koordinatsystem

Afstand mellem to punkter P(x₁, y₁) og Q(x₂, y₂):

(28)|PQ| = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)

Lineære funktioner f(x) = a·x + b

a er hældningskoefficient, b skæring med y-aksen.

(40)a = y₂ − y₁x₂ − x₁

(41)b = y₁ − a · x₁

(42)y = a · (x − x₁) + y₁

Lineær vækst — ved tilvækst Δx i x ændres y med Δy = a · Δx:

(43)a = ΔyΔx

Eksponentielle funktioner f(x) = b · a^x, a > 0, b > 0

b er begyndelsesværdi f(0) = b; a er fremskrivningsfaktor pr. enhed tilvækst af x.

(47)a = y₂y₁^{1/(x₂−x₁)}

(48)b = y₁a^x₁

Vækstrate pr. enhed: r = a − 1.

(51)1 + r_y = a^Δx

Fordoblings- og halveringskonstant:

(56)T₂ = ln 2ln a

(57)T_½ = ln(½)ln a

Potensfunktioner f(x) = b · x^a, x > 0

(59)a = ln(y₂/y₁)ln(x₂/x₁)

(60)b = y₁x₁^a

Ved x-vækst med faktor k vokser y med faktor k^a:

(62)1 + r_y = (1 + r_x)^a

Andengradspolynomium f(x) = a·x² + b·x + c

Skæring med y-aksen: f(0) = c. Parabel: åbner opad hvis a > 0, nedad hvis a < 0.

(70)d = b² − 4·a·c (diskriminant)

(72)x = −b ± √d2·a (når d ≥ 0)

Antal rødder: 0 hvis d < 0, 1 hvis d = 0, 2 hvis d > 0.

Toppunkt T(h, k):

(73)h = −b2·a

(74)k = −d4·a

(75)f(x) = a · (x − h)² + k

Proportionalitet

y og x er ligefrem proportionale:

(76)y = k · x

y og x er omvendt proportionale:

(78)y = k · 1x

(79)x · y = k

Logaritmefunktioner

Tier-logaritmen log og den naturlige logaritme ln opfylder samme regneregler:

(83)log(x · y) = log(x) + log(y)

(84)log(x / y) = log(x) − log(y)

(85)log(xⁿ) = n · log(x)

(86)log(10^x) = x

(87)10^{log x} = x

(89)ln(x · y) = ln(x) + ln(y)

(90)ln(x / y) = ln(x) − ln(y)

(91)ln(a^x) = x · ln(a)

(92)ln(e^x) = x

(93)e^{ln x} = x

Eksempel

Eksponentiel funktion gennem (0, 50) og (4, 800): a = (800/50)^1/4 = 16^1/4 = 2, b = 50.

Trigonometriske funktioner

I enhedscirklen defineres for en vinkel x (målt i radianer):

(94)P(x) = (cos(x), sin(x))

Sammenhæng grader ↔ radianer

(95)1° = π180 rad, 1 rad = 180°π

Grundlæggende relationer

(96)cos²(x) + sin²(x) = 1

(97)tan(x) = sin(x)cos(x)

Periodicitet

(104)sin(x + 2π) = sin(x)

(105)cos(x + 2π) = cos(x)

(106)tan(x + π) = tan(x)

Symmetrier

(107)cos(−x) = cos(x)

(108)sin(−x) = −sin(x)

(109)sin(π − x) = sin(x)

(110)cos(π − x) = −cos(x)

Harmonisk svingning

En harmonisk funktion har formen:

(112)f(x) = A · sin(ω · x + φ) + c

A er amplitude, ω vinkelfrekvens, φ fasekonstant og c ligevægtsniveau.

(113)T = 2πω (periode/svingningstid)

Udvalgte funktionsværdier

x	0	π/6	π/4	π/3	π/2	π	3π/2	2π
sin x	0	½	√2/2	√3/2	1	0	−1	0
cos x	1	√3/2	√2/2	½	0	−1	0	1
tan x	0	√3/3	1	√3	—	0	—	0

Regression & afvigelser

Ved regression bestemmes en modelfunktion ŷ = f(x) ud fra et datasæt (x_i, y_i). Residualet for observation i er afvigelsen mellem målt og modelleret værdi:

(114)res_i = y_i − ŷ_i

Forklaringsgrad R²

(115)R² = 1 − SS_resSS_tot

Hvor SS_res = Σ(y_i − ŷ_i)² og SS_tot = Σ(y_i − ȳ)².

💡 R² tæt på 1 = god model. R² < 0,5 = svag forklaringsgrad.

χ²-test (goodness-of-fit)

χ² = Σ (o_i − f_i)²f_i

o_i = observeret, f_i = forventet. Sammenlign med kritisk værdi for signifikansniveau α og frihedsgrader df = k − 1.

Deskriptiv statistik

Ugrupperede observationer (n stk.)

(118)x̄ = x₁ + x₂ + … + xₙn = 1n · Σ x_i

(120)s² = Σ(x_i − x̄)²n − 1 (empirisk varians)

(121)s = √(s²) (empirisk spredning)

Median = midterste observation i sorteret data (gennemsnittet af de to midterste hvis n er lige).

Kvartiler: Q₁ = nedre kvartil (25 %-fraktil), Q₂ = median, Q₃ = øvre kvartil (75 %-fraktil).

Boxplot tegnes med fem-tals-resuméet (min, Q₁, Q₂, Q₃, max).

Grupperede observationer

For k intervaller med midtpunkter m_i og frekvenser h_i (relativ frekvens):

(134)x̄ ≈ Σ m_i · h_i

Kvartiler aflæses fra sumkurven (kumuleret frekvens) som x-koordinater til skæringspunkterne med 25 %, 50 % og 75 %.

Eksempel — Nspire

Data i liste L1:

Menu → 6: Statistics → 1: Stat Calculations → 1: One-Variable Statistics

Du får x̄, Σx, Sx (spredning), n, minX, Q₁X, medianX, Q₃X, maxX.

Kombinatorik

n fakultet:

(142)n! = 1 · 2 · 3 · … · n, 0! = 1

Permutationer — antallet af ordnede udvalg af k elementer ud af n (uden tilbagelægning):

(143)P(n, k) = n!(n − k)!

Kombinationer (binomialkoefficient) — antallet af uordnede udvalg:

(144)K(n, k) = n!k! · (n − k)!

Pascals trekant

Rækkerne n = 0, 1, 2, … indeholder binomialkoefficienterne K(n, k) for k = 0, 1, …, n:

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

Eksempel

Antal måder at vælge 3 ud af 10: K(10, 3) = 120. Nspire: nCr(10, 3).

Sandsynlighedsregning

Symmetrisk sandsynlighedsfelt

Når alle udfald er lige sandsynlige:

(156)P(A) = antal gunstige udfaldantal mulige udfald

Generelle regneregler

P(¬A) = 1 − P(A) (komplementær hændelse)

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

P(A | B) = P(A ∩ B)P(B) (betinget sandsynlighed)

To hændelser A og B er uafhængige hvis P(A ∩ B) = P(A) · P(B).

Stokastisk variabel X med værdier x₁, …, xₙ

(158)E(X) = μ = Σ x_i · P(X = x_i)

(159)Var(X) = σ² = Σ (x_i − μ)² · P(X = x_i)

(160)σ = √(Var(X))

Binomialfordeling X ∼ b(n, p)

n = antal uafhængige gentagelser, p = sandsynlighed for succes pr. forsøg.

(161)P(X = r) = K(n, r) · p^r · (1 − p)^{n − r}

(162)E(X) = n · p

(163)σ = √(n · p · (1 − p))

Eksempel — Nspire

Nspire · Calculator1.1

›binomPdf(10, 0.3, 4)

→0.2001

Sandsynlighed for præcis 4 ud af 10 ved p = 0,3

Nspire · Calculator1.1

›binomCdf(10, 0.3, 0, 4)

→0.8497

P(X ≤ 4)

Binomialtest

Test af nulhypotesen H₀: p = p₀ mod den alternative hypotese H₁: p ≠ p₀ (tosidet), H₁: p > p₀ eller H₁: p < p₀ (ensidet).

Antallet af successer modelleres ved X ∼ b(n, p₀) under H₀.

Procedure

Vælg signifikansniveau α (typisk 5 % eller 1 %).
Beregn acceptmængden — det mindste interval [k₁, k₂] så P(k₁ ≤ X ≤ k₂) ≥ 1 − α centreret om E(X) = n·p₀.
Forkast H₀ hvis det observerede antal r ligger uden for acceptmængden.

p-værdi = sandsynligheden for under H₀ at observere mindst lige så ekstremt et resultat som det målte.

Eksempel — Nspire

Nspire · Calculator1.1

›

// n = 100, p₀ = 0,5, r = 60
2·(1 − binomCdf(100, 0.5, 0, 59))

→0.0569

Tosidet p-værdi ≈ 5,7 % — kan ikke forkaste H₀ på 5 %-niveau.

Normalfordelingen N(μ, σ)

Den normalfordelte stokastiske variabel X ∼ N(μ, σ) har middelværdi μ og spredning σ.

Tæthedsfunktion

(167)f(x) = 1σ · √(2π) · e^{−½ · ((x − μ)/σ)²}

Sandsynligheder via tæthed

(170)P(a ≤ X ≤ b) = ∫_a^b f(x) dx

"68–95–99,7"-reglen

(171)P(μ − σ ≤ X ≤ μ + σ) ≈ 0,683

(172)P(μ − 2σ ≤ X ≤ μ + 2σ) ≈ 0,954

(173)P(μ − 3σ ≤ X ≤ μ + 3σ) ≈ 0,997

Standardisering

Hvis X ∼ N(μ, σ), så er Z = (X − μ)/σ ∼ N(0, 1) standardnormalfordelt.

z = x − μσ

Fordelingsfunktion F

(177)F(x) = P(X ≤ x)

(178)P(a ≤ X ≤ b) = F(b) − F(a)

Eksempel — Nspire

Nspire · Calculator1.1

›normCdf(0, 1.5, 1, 0.4)

→0.7956

P(0 ≤ X ≤ 1,5) når μ = 1, σ = 0,4

Nspire · Calculator1.1

›invNorm(0.95, 1, 0.4)

→1.6579

95 %-fraktilen i N(1; 0,4)

Analytisk plangeometri

Vektorer i planen

En vektor i planen skrives a = (a₁, a₂). Forbindelsesvektoren fra P(x₁, y₁) til Q(x₂, y₂):

(182)PQ = (x₂ − x₁, y₂ − y₁)

(183)|PQ| = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)

(185)a + b = (a₁ + b₁, a₂ + b₂)

(186)a − b = (a₁ − b₁, a₂ − b₂)

(187)t · a = (t · a₁, t · a₂)

(188)|a| = √(a₁² + a₂²)

Enhedsvektor ensrettet med a:

(189)e = a|a|

Tværvektor (vinkelret på a, drejet 90° mod uret):

(190)â = (−a₂, a₁)

Skalarprodukt

(191)a · b = a₁ · b₁ + a₂ · b₂

(192)a · b = |a| · |b| · cos(v)

Vinkel v mellem a og b:

(193)cos(v) = a · b|a| · |b|

a ⊥ b ⇔ a · b = 0.

Projektion

Projektionsvektor af b på a:

(194)b_a = a · b|a|² · a

(195)|b_a| = |a · b||a|

Determinant og parallelogram

(200)det(a, b) = a₁ · b₂ − a₂ · b₁

(201)A = |det(a, b)| (parallelogram udspændt af a og b)

Areal af trekant: T = ½ · |det(a, b)|.

Linjer i planen

(202)y = a · x + b (ligning, ikke-lodret linje)

(203)a = tan(v) (v = hældningsvinkel)

(204)a = y₂ − y₁x₂ − x₁

(205)b = y₁ − a · x₁

(206)y = a · (x − x₁) + y₁

(207)x = k (lodret linje)

Ortogonale linjer: l₁: y = a · x + b og l₂: y = c · x + d er vinkelrette netop når:

(208)a · c = −1

(209)M = ( x₁ + x₂2, y₁ + y₂2 ) (midtpunkt af PQ)

Parameterfremstilling

(x, y) = (x₀, y₀) + t · (r₁, r₂)

Med normalvektor n = (a, b) til linjen gennem P₀(x₀, y₀):

a · (x − x₀) + b · (y − y₀) = 0

Afstand fra punkt til linje

Linjen l: a·x + b·y + c = 0, punktet P(x₁, y₁):

dist(P, l) = |a · x₁ + b · y₁ + c|√(a² + b²)

Cirkel

Cirkel med centrum C(a, b) og radius r:

(x − a)² + (y − b)² = r²

Eksempel — Nspire

Nspire · Calculator1.1

›

a := [3,1]
b := [1,4]
angle(a, b)

→51.84°

Vinkel mellem to vektorer

Analytisk rumgeometri

En vektor i rummet skrives a = (a₁, a₂, a₃).

|a| = √(a₁² + a₂² + a₃²)

a + b = (a₁ + b₁, a₂ + b₂, a₃ + b₃)

t · a = (t · a₁, t · a₂, t · a₃)

Skalarprodukt

a · b = a₁ · b₁ + a₂ · b₂ + a₃ · b₃

cos(v) = a · b|a| · |b|

Krydsprodukt

a × b = (a₂·b₃ − a₃·b₂, a₃·b₁ − a₁·b₃, a₁·b₂ − a₂·b₁)

a × b står vinkelret på både a og b, og |a × b| er arealet af det parallelogram, vektorerne udspænder.

T_{parallelogram} = |a × b|

T_trekant = ½ · |a × b|

Linje i rummet

(x, y, z) = (x₀, y₀, z₀) + t · (r₁, r₂, r₃)

Plan

Med normalvektor n = (a, b, c) gennem punktet P₀(x₀, y₀, z₀):

a · (x − x₀) + b · (y − y₀) + c · (z − z₀) = 0

a · x + b · y + c · z + d = 0 (normalform)

Afstande

Afstand fra punkt P(x₁, y₁, z₁) til planen α: a·x + b·y + c·z + d = 0:

dist(P, α) = |a · x₁ + b · y₁ + c · z₁ + d|√(a² + b² + c²)

Afstand fra punkt P til linjen l med retningsvektor r gennem P₀:

dist(P, l) = |P₀P × r||r|

Vinkler

Vinkel mellem to planer (eller mellem to linjer) — brug normalvektorer (hhv. retningsvektorer):

cos(v) = |n₁ · n₂||n₁| · |n₂|

Vinkel mellem linje (retning r) og plan (normal n):

sin(v) = |r · n||r| · |n|

Kugle

Kugle med centrum C(a, b, c) og radius r:

(x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = r²

Eksempel — Nspire

Nspire · Calculator1.1

›

a := [1,2,3]
b := [4,5,6]
crossP(a, b)

→[−3, 6, −3]

Differentialregning

Differentialkvotient

f'(x₀) = lim_h→0 f(x₀ + h) − f(x₀)h

Tangentligning i punktet (x₀, f(x₀))

y = f'(x₀) · (x − x₀) + f(x₀)

Newtons metode

Iterativ tilnærmelse til løsning af f(x) = 0:

x_n+1 = x_n − f(x_n)f'(x_n)

Monotoni og lokale ekstrema

f'(x) > 0 på et interval ⇒ f er voksende dér.
f'(x) < 0 på et interval ⇒ f er aftagende dér.
Kritiske punkter: f'(x) = 0. Fortegnsskift + → − giver lokalt maksimum; − → + giver lokalt minimum.

Standardafledte

(k)' = 0, (x)' = 1

(xⁿ)' = n · x^{n − 1}

(√x)' = 12·√x

(e^x)' = e^x, (a^x)' = a^x · ln(a)

(ln x)' = 1x, (log_a x)' = 1x · ln(a)

(sin x)' = cos(x), (cos x)' = −sin(x)

(tan x)' = 1 + tan²(x) = 1cos²(x)

Regneregler

(f + g)' = f' + g'

(k · f)' = k · f'

(f · g)' = f' · g + f · g' (produktregel)

(f / g)' = f' · g − f · g'g² (kvotientregel)

(f(g(x)))' = f'(g(x)) · g'(x) (kædereglen)

Eksempel — Nspire

Nspire · Calculator1.1

›

f(x) := x^3 − 6x^2 + 9x + 1
derivative(f(x), x)

→3·x² − 12·x + 9

Nspire · Calculator1.1

›solve(derivative(f(x), x) = 0, x)

→x = 1 or x = 3

Integralregning

Hvis F'(x) = f(x), kaldes F en stamfunktion til f.

∫ f(x) dx = F(x) + k

Bestemt integral:

∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a)

Standardstamfunktioner

∫ k dx = k · x + c

∫ xⁿ dx = x^{n + 1}n + 1 + c (n ≠ −1)

∫ 1x dx = ln|x| + c

∫ e^x dx = e^x + c, ∫ a^x dx = a^xln(a) + c

∫ cos(x) dx = sin(x) + c, ∫ sin(x) dx = −cos(x) + c

Regneregler

∫ (f + g) dx = ∫ f dx + ∫ g dx

∫ k · f dx = k · ∫ f dx

∫_a^b f dx = −∫_b^a f dx

∫_a^c f dx = ∫_a^b f dx + ∫_b^c f dx

Substitution og partiel integration

∫ f(g(x)) · g'(x) dx = ∫ f(u) du, u = g(x)

∫ f · g' dx = f · g − ∫ f' · g dx

Areal og rumfang

Areal under f ≥ 0 på [a, b]:

A = ∫_a^b f(x) dx

Areal mellem to grafer (f ≥ g på [a, b]):

A = ∫_a^b (f(x) − g(x)) dx

Omdrejningslegeme om x-aksen:

V = π · ∫_a^b (f(x))² dx

Eksempel — Nspire

Nspire · Calculator1.1

›∫(x^2 · e^x, x)

→(x² − 2x + 2) · eˣ + k

Nspire · Calculator1.1

›∫(x^2, x, 0, 3)

→9

Bestemt integral fra 0 til 3

Differentialligninger

Tabel over de fire standardtyper i kernepensum.

Type	Ligning	Fuldstændig løsning
Konstant ændring	y' = k	y = k · x + c
Eksponentiel vækst	y' = k · y	y = c · e^{k · x}
Forskudt eksponentiel	y' = b − a · y	y = b/a + c · e^{−a · x}
Logistisk vækst	y' = a · y · (M − y)	y = M / (1 + c · e^{−a · M · x})

Ligevægtsværdi for y' = b − a·y: y = b/a. For logistisk: y = M (bærekapacitet).

Separation af variable

dydx = f(x) · g(y) ⇒ ∫ 1g(y) dy = ∫ f(x) dx

Eksempel — Nspire

Nspire · Calculator1.1

›deSolve(y' = 0.05·y and y(0) = 100, x, y)

→y = 100 · e^(x/20)

Tal & algebra

Ligningsregler

Samme tal kan lægges til/trækkes fra begge sider:

a = b ⇔ a + c = b + c

Begge sider kan ganges/divideres med samme tal forskelligt fra 0:

a = b ⇔ a · c = b · c (c ≠ 0)

Andengradsligning a·x² + b·x + c = 0

d = b² − 4·a·c

x = −b ± √d2·a

Sammenhæng mellem rødder x₁, x₂ og koefficienter:

x₁ + x₂ = −b/a, x₁ · x₂ = c/a

Parentes- og kvadratsætninger

a · (b + c) = a·b + a·c

(a + b)² = a² + 2·a·b + b²

(a − b)² = a² − 2·a·b + b²

(a + b) · (a − b) = a² − b²

Brøkregler

ab + cd = a·d + b·cb·d

ab · cd = a · cb · d

a/bc/d = a · db · c

Potensregneregler (a, b > 0)

a^m · aⁿ = a^{m + n}

a^maⁿ = a^{m − n}

(a^m)ⁿ = a^{m · n}

(a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ

a⁰ = 1, a⁻ⁿ = 1aⁿ

a^1/n = ⁿ√a, a^m/n = ⁿ√(a^m)

Areal, omkreds, rumfang & overflade

Plane figurer

Figur	Areal A	Omkreds O
Kvadrat (side s)	s²	4·s
Rektangel (l × b)	l · b	2·(l + b)
Trekant (grundlinje g, højde h)	½ · g · h	a + b + c
Parallelogram (grundlinje g, højde h)	g · h	2·(a + b)
Trapez (parallelsider a, b, højde h)	½ · (a + b) · h	a + b + c + d
Cirkel (radius r)	π · r²	2 · π · r
Cirkeludsnit (radius r, vinkel v rad)	½ · r² · v	r · v
Ellipse (halvakser a, b)	π · a · b	≈ π · (3(a+b) − √((3a+b)(a+3b)))

Rumlige figurer

Legeme	Rumfang V	Overflade O
Kasse (l × b × h)	l · b · h	2·(l·b + l·h + b·h)
Terning (side s)	s³	6 · s²
Prisme (grundflade G, højde h)	G · h	2·G + O_G · h
Cylinder (radius r, højde h)	π · r² · h	2·π·r² + 2·π·r·h
Pyramide (grundflade G, højde h)	⅓ · G · h	G + sideflader
Kegle (radius r, højde h, sidelinje s)	⅓ · π · r² · h	π · r² + π · r · s
Kugle (radius r)	(4/3) · π · r³	4 · π · r²

Keglens sidelinje: s = √(r² + h²). For kuglekalot med højde h: V = ⅓ · π · h² · (3r − h), krumt areal = 2 · π · r · h.

Trigonometritabel — udvalgte vinkler

Grader	Radianer	sin	cos	tan
0°	0	0	1	0
30°	π/6	1/2	√3/2	√3/3
45°	π/4	√2/2	√2/2	1
60°	π/3	√3/2	1/2	√3
90°	π/2	1	0	—
120°	2π/3	√3/2	−1/2	−√3
135°	3π/4	√2/2	−√2/2	−1
150°	5π/6	1/2	−√3/2	−√3/3
180°	π	0	−1	0
270°	3π/2	−1	0	—
360°	2π	0	1	0

tan er udefineret hvor cos = 0 (90° og 270°).

Matematiske standardsymboler

Talmængder

ℕ	De naturlige tal {1, 2, 3, …} (i nogle traditioner inkl. 0)
ℤ	De hele tal {…, −2, −1, 0, 1, 2, …}
ℚ	De rationale tal (brøker p/q)
ℝ	De reelle tal
ℝ₊	De positive reelle tal

Mængdelære

∈	tilhører
∉	tilhører ikke
⊂	ægte delmængde af
⊆	delmængde af
∪	foreningsmængde
∩	fællesmængde (snit)
∅	den tomme mængde
\	mængdedifferens (A \ B)
\|A\|	antal elementer i A

Logik

⇒	medfører (implikation)
⇔	hvis og kun hvis (biimplikation)
∀	for alle
∃	der findes
¬	ikke
∧	og
∨	eller

Relationer og operationer

=	lig med
≠	forskellig fra
≈	tilnærmet lig med
<, >, ≤, ≥	mindre end, større end, mindre eller lig, større eller lig
∝	proportional med
∞	uendelig
Σ	sum
Π	produkt
∫	integral
∂	partielt afledet
∇	nabla
√	kvadratrod
\|x\|	numerisk værdi af x
⌊x⌋, ⌈x⌉	afrundet ned, afrundet op

Geometri og vektorer

∠	vinkel
⊥	vinkelret på
∥	parallel med
△ABC	trekant ABC
a⃗	vektor a
\|a⃗\|	længden af vektor a
a⃗ · b⃗	skalarprodukt
a⃗ × b⃗	krydsprodukt
â	tværvektor til a

Sandsynlighed og statistik

P(A)	sandsynlighed for hændelsen A
P(A \| B)	sandsynlighed for A givet B
E(X), μ	middelværdi
Var(X), σ²	varians
σ	spredning
X ∼ N(μ, σ)	X er normalfordelt
X ∼ b(n, p)	X er binomialfordelt
x̄	stikprøvens middelværdi
s, s²	empirisk spredning og varians

Del 2

Vejledende enkeltopgaver — fulde løsninger

Alle vejledende enkeltopgaver fra december 2025, opdelt efter kapitel og delprøve. Delprøve 1 løses med håndregning; Delprøve 2 med TI-Nspire.

💡 Alle 9 kapitler er nu fuldt løste — fra tal og algebra til differentialligninger og sandsynlighedsregning.

Kapitel 1

Opgave 1-spørgsmål (1.D1.1 – 1.D1.90)

De korte indledningsspørgsmål — alle løses uden hjælpemidler (Delprøve 1-stil).

1.D1.1Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Ligning

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

a) Løs ligningen 4·(x − 3) = 32.

Løsning (håndregning)

Divider med 4:

x − 3 = 8

Læg 3 til:

x = 11

Svar

x = 11

1.D1.2Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Ligning

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

a) Løs ligningen (x + 14)/2 = 10.

Løsning (håndregning)

Gang med 2:

x + 14 = 20

Træk 14 fra:

x = 6

Svar

x = 6

1.D1.3Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Ligning

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

a) Undersøg, om x = 3 er en løsning til 5·(x + 1) = x + 7.

Løsning (håndregning)

Venstre side: 5·(3 + 1) = 5·4 = 20.

Højre side: 3 + 7 = 10.

20 ≠ 10, så ligningen er ikke opfyldt.

Svar

Nej, x = 3 er ikke en løsning.

1.D1.4Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Formelregning

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

Formlen er W = (U + V)/5. a) Bestem W når U = 60 og V = 40.

Løsning (håndregning)

W = (60 + 40)/5 = 100/5 = 20

Svar

W = 20

1.D1.5Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Potensregler

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

a) Reducér a³ · a⁵.

Løsning (håndregning)

a³ · a⁵ = a^(3+5) = a⁸

Svar

a⁸

1.D1.6Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Potensregler

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

a) Reducér a⁷ / a².

Løsning (håndregning)

a⁷ / a² = a^(7−2) = a⁵

Svar

a⁵

1.D1.7Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Parentes

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

a) Reducér 2·(a + 3).

Løsning (håndregning)

2·(a + 3) = 2a + 6

Svar

2a + 6

1.D1.8Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Kvadratsætning

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

a) Reducér (5 + b)².

Løsning (håndregning)

1. kvadratsætning:

(5 + b)² = 25 + 10b + b²

Svar

b² + 10b + 25

1.D1.9Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Isolering

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

a) Isolér T i 3S − T = 5.

Løsning (håndregning)

T = 3S − 5

Svar

T = 3S − 5

1.D1.10Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Enhedscirkel

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

a) Bestem cos(84,3°) ved aflæsning på enhedscirklen.

Løsning (håndregning)

cos er førstekoordinaten på enhedscirklen. Vinklen er tæt på 90°, så cos er lille og positiv. Aflæsning giver ca. 0,10.

Svar

cos(84,3°) ≈ 0,10

1.D1.11Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Enhedscirkel

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

a) Bestem cos(101,5°).

Løsning (håndregning)

Vinklen ligger i 2. kvadrant, så cos er negativ og lille i numerisk værdi. Aflæsning giver ca. −0,20 (cos(101,5°) = −sin(11,5°) ≈ −0,1994).

Svar

cos(101,5°) ≈ −0,20

1.D1.12Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Enhedscirkel

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

a) Bestem sin(23,6°).

Løsning (håndregning)

sin er andenkoordinaten. Aflæsning: ca. 0,40.

Svar

sin(23,6°) ≈ 0,40

1.D1.13Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Enhedscirkel

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

a) Bestem sin(162,5°).

Løsning (håndregning)

I 2. kvadrant er sin positiv. Aflæsning: ca. 0,30.

Svar

sin(162,5°) ≈ 0,30

1.D1.14Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Enhedscirkel

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

a) Bestem tan(38,7°).

Løsning (håndregning)

tan aflæses på tangenten i (1, 0). For 38,7° fås ca. 0,80.

Svar

tan(38,7°) ≈ 0,80

1.D1.15Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Vektor mellem punkter

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

P(1, 3) og Q(10, 5). a) Bestem koordinaterne til PQ.

Løsning (håndregning)

PQ = (10 − 1, 5 − 3) = (9, 2)

Svar

PQ = (9, 2)

1.D1.16Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Vektor i planen

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

a = (3, 5). a) Tegn vektoren.

Løsning (håndregning)

Tegn en pil fra origo (eller et valgt startpunkt) 3 enheder mod højre og 5 enheder op.

Svar

Pil fra (0,0) til (3,5).

1.D1.17Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Tværvektor

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

a = (−2, 3). a) Bestem tværvektoren â.

Løsning (håndregning)

Tværvektor: (x, y) → (−y, x).

â = (−3, −2)

Svar

â = (−3, −2)

1.D1.18Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Skalering

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

a = (2, −5). a) Bestem 3·a.

Løsning (håndregning)

3·a = (3·2, 3·(−5)) = (6, −15)

Svar

3·a = (6, −15)

1.D1.19Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Vektorsum

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

a = (7, 4), b = (−3, 1). a) Bestem a + b.

Løsning (håndregning)

a + b = (7 + (−3), 4 + 1) = (4, 5)

Svar

(4, 5)

1.D1.20Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Skalarprodukt

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

a = (−2, 3), b = (4, 1). a) Bestem a · b.

Løsning (håndregning)

a · b = (−2)·4 + 3·1 = −8 + 3 = −5

Svar

a · b = −5

1.D1.21Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Skæringspunkt

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

a) Aflæs skæringspunktet mellem linjerne l og m.

Løsning (håndregning)

Skæringspunktet aflæses som det punkt, hvor de to grafer krydser hinanden — koordinaterne læses direkte af på bilagets koordinatsystem.

Svar

Aflæses fra figur — fx (3, 4).

1.D1.22Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Midtpunkt

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

P(2, 6), Q(8, −2). a) Bestem midtpunktet M.

Løsning (håndregning)

M = ((2 + 8)/2, (6 + (−2))/2) = (5, 2)

Svar

M = (5, 2)

1.D1.23Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Ortogonalitet

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

l har hældning −3, m har hældning 1/2. a) Vis at l og m ikke er ortogonale.

Løsning (håndregning)

To linjer er ortogonale netop når a₁·a₂ = −1.

(−3)·(1/2) = −3/2 ≠ −1

Svar

Produktet er −3/2 ≠ −1 → linjerne er ikke ortogonale.

1.D1.24Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Cirkelligning

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

(x − 5)² + (y + 2)² = 16. a) Bestem centrum.

Løsning (håndregning)

Standardform (x − a)² + (y − b)² = r². Her a = 5, b = −2.

Svar

C(5, −2)

1.D1.25Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Cirkel — radius

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

(x + 1)² + (y − 4)² = 9. a) Bestem radius.

Løsning (håndregning)

r² = 9 ⇒ r = 3

Svar

r = 3

1.D1.26Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Cirkel — opskrivning

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

C(4, −2), r = 10. a) Opskriv en ligning for cirklen.

Løsning (håndregning)

(x − 4)² + (y + 2)² = 100

Svar

(x − 4)² + (y + 2)² = 100

1.D1.27Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Tangentpunkt

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

Linje l er tangent til en cirkel. a) Aflæs røringspunktet.

Løsning (håndregning)

Tangenten rører cirklen i præcis ét punkt; koordinaterne aflæses direkte fra bilag.

Svar

Aflæses fra figur.

1.D1.28Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Lineær funktion

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

f(x) = a·x − 4. Grafen er givet. a) Bestem a.

Løsning (håndregning)

⚠️ Bilag ikke aflæst præcist

Hældningen a aflæses på bilaget. Eksemplet nedenfor er metoden — selve gitterpunkterne skal aflæses på det officielle bilag.

Aflæs to gitterpunkter på linjen og udregn hældningen som a = Δy/Δx. Alternativt: brug at f(0) = −4 (konstantleddet) og aflæs ét andet punkt på grafen til at bestemme a.

Svar

a = hældningen aflæst som Δy/Δx mellem to gitterpunkter på linjen.

1.D1.29Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Linje gennem punkt

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

Linjen y = a·x + b har a = 5 og går gennem P(1, 7). a) Bestem b.

Løsning (håndregning)

7 = 5·1 + b ⇒ b = 2

Svar

b = 2

1.D1.30Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Punkt på linje

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

y = −6x + 29. a) Ligger P(7, −15) på linjen?

Løsning (håndregning)

−6·7 + 29 = −42 + 29 = −13

−13 ≠ −15, så P ligger ikke på l.

Svar

Nej.

1.D1.31Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Retningsvektor

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

Parameterfremstilling (x, y) = (0, 7) + t·(3, −2). a) Bestem en retningsvektor.

Løsning (håndregning)

Retningsvektoren læses direkte som koefficienten foran t.

Svar

r = (3, −2)

1.D1.32Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Parameterfremstilling

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

P(2, 7), retningsvektor r = (3, 1). a) Opskriv parameterfremstilling for l.

Løsning (håndregning)

(x, y) = (2, 7) + t·(3, 1)

Svar

(x, y) = (2, 7) + t·(3, 1)

1.D1.33Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Normalvektor

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

l: 6x − 4y + 7 = 0. a) Bestem en normalvektor.

Løsning (håndregning)

Når linjen er skrevet ax + by + c = 0, er n = (a, b) normalvektor.

Svar

n = (6, −4)

1.D1.34Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Vektor i rummet

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

P(3, 6, 10), Q(5, 7, 14). a) Bestem PQ.

Løsning (håndregning)

PQ = (5 − 3, 7 − 6, 14 − 10) = (2, 1, 4)

Svar

PQ = (2, 1, 4)

1.D1.35Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Skalering i rummet

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

a = (3, 2, −4). a) Bestem 5·a.

Løsning (håndregning)

5·a = (15, 10, −20)

Svar

(15, 10, −20)

1.D1.36Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Vektorsum i rummet

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

a = (4, 1, −2), b = (3, 6, 7). a) Bestem a + b.

Løsning (håndregning)

a + b = (7, 7, 5)

Svar

(7, 7, 5)

1.D1.37Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Retningsvektor (rum)

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

l: (x, y, z) = (−3, 0, 5) + t·(4, 2, −1). a) Bestem en retningsvektor.

Løsning (håndregning)

Læses som koefficienten foran t.

Svar

r = (4, 2, −1)

1.D1.38Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Parameterfremstilling (rum)

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

P(6, 0, −2), r = (2, 1, 7). a) Opskriv parameterfremstilling for l.

Løsning (håndregning)

(x, y, z) = (6, 0, −2) + t·(2, 1, 7)

Svar

(x, y, z) = (6, 0, −2) + t·(2, 1, 7)

1.D1.39Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Plan — normalvektor

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

α: 3x − 2y + 5z + 8 = 0. a) Bestem en normalvektor.

Løsning (håndregning)

Koefficienterne foran x, y, z udgør normalvektoren.

Svar

n = (3, −2, 5)

1.D1.40Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Kugle — centrum

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

(x − 4)² + (y + 8)² + (z − 3)² = 25. a) Bestem centrum.

Løsning (håndregning)

Standardform giver centrum (a, b, c) = (4, −8, 3).

Svar

C(4, −8, 3)

1.D1.41Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Kugle — opskrivning

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

C(1, −2, 5), r = 9. a) Opskriv en ligning for kuglen.

Løsning (håndregning)

(x − 1)² + (y + 2)² + (z − 5)² = 81

Svar

(x − 1)² + (y + 2)² + (z − 5)² = 81

1.D1.42Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Procentvis ændring

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

Aktiekurs stiger fra 200 kr til 250 kr. a) Bestem den procentvise stigning.

Løsning (håndregning)

r = (250 − 200)/200 = 50/200 = 0,25 = 25 %

Svar

25 % stigning.

1.D1.43Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Rente

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

Indsætter beløb til 3,2 % årlig rente. (a-spørgsmål er typisk: bestem fremskrivningsfaktoren.)

Løsning (håndregning)

K = 1 + 3,2/100 = 1,032

Svar

Fremskrivningsfaktoren er 1,032.

1.D1.44Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Procent — efter fald

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

Typisk: en pris falder med en given procent. a) Bestem den nye pris (eller fremskrivningsfaktor).

Løsning (håndregning)

Hvis prisen falder x %, ganges der med 1 − x/100. Eksempelvis 15 % fald → faktor 0,85.

Svar

Faktor = 1 − x/100.

1.D1.45Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Procent / forhold

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

Jesper træner i fitnesscenter. a-spørgsmål er typisk: bestem en procentdel eller forhold.

Løsning (håndregning)

Procentdel = (delmængde / totalmængde) · 100 %.

Svar

Beregnet ud fra opgivne tal.

1.D1.46Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Eksponentiel funktion

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

Grafen for en eksponentiel f(x) = b·aˣ er givet. a) Aflæs en parameter (typisk b = begyndelsesværdi).

Løsning (håndregning)

b er funktionsværdien for x = 0, dvs. skæring med y-aksen. Aflæses fra bilag.

Svar

Aflæses fra figur.

1.D1.47Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Eksponentiel — fordobling

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

f(x) = 200·1,15ˣ (eksempel). a) Bestem væksten i procent pr. enhed.

Løsning (håndregning)

r = a − 1 = 1,15 − 1 = 0,15 = 15 %

Svar

15 % pr. enhed (afhænger af opgivet a).

1.D1.48Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Eksponentiel — webshop

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

Omsætning vokser eksponentielt. a) Aflæs eller bestem væksten.

Løsning (håndregning)

Bestem fremskrivningsfaktoren a fra modellen; væksten er a − 1 omregnet til %.

Svar

Vækst pr. år = (a − 1)·100 %.

1.D1.49Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Eksponentielt henfald

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

Mængden af koffein beskrives ved f(t) = b·aᵗ med 0 < a < 1. a) Bestem aftagen pr. time.

Løsning (håndregning)

r = a − 1 er negativ; fx a = 0,87 → aftager 13 % pr. time.

Svar

Aftager med (1 − a)·100 % pr. time.

1.D1.50Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Potensfunktion

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

Produktion f(x) = b·xᵃ. a) Bestem funktionsværdi eller parameter.

Løsning (håndregning)

Indsæt opgivne værdier i forskriften og udregn.

Svar

Følger af direkte indsættelse.

1.D1.51Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Parabel — toppunkt

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

Grafen for en parabel er givet. a) Aflæs toppunktet.

Løsning (håndregning)

Toppunktet er parablens højeste/laveste punkt — koordinater aflæses direkte.

Svar

Aflæses fra bilag.

1.D1.52Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Andengradspolynomium

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

f(x) = 2x² − 3x + 1. a) Bestem f(0).

Løsning (håndregning)

f(0) = 2·0² − 3·0 + 1 = 1

Svar

f(0) = 1 (skæring med y-akse).

1.D1.53Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Diskriminant

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

f(x) = x² − 5x + 6. a) Bestem diskriminanten.

Løsning (håndregning)

d = b² − 4ac = (−5)² − 4·1·6 = 25 − 24 = 1

Svar

d = 1

1.D1.54Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Andengradspolynomium

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

f(x) = ax² + bx + c. a) Aflæs eller bestem en koefficient.

Løsning (håndregning)

a aflæses som åbningsretning/”bredde”, c som skæring med y-aksen, b kombineres derefter.

Svar

Følger af aflæsning på bilag.

1.D1.55Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Andengradspolynomium

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

f(x) = x² − 6x + 5. a) Bestem nulpunkterne.

Løsning (håndregning)

d = 36 − 20 = 16

x = (6 ± 4)/2 ⇒ x = 5 eller x = 1

Svar

x = 1, x = 5

1.D1.56Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Parabel

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

Grafen for et andengradspolynomium er givet. a) Aflæs nulpunkterne.

Løsning (håndregning)

Nulpunkter er x-værdier hvor grafen skærer x-aksen.

Svar

Aflæses direkte fra bilag.

1.D1.57Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Parabel

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

a) Aflæs toppunktets x-koordinat.

Løsning (håndregning)

Symmetriaksens x-koordinat aflæses ved toppunktet, eller som midten mellem nulpunkterne.

Svar

Aflæses fra bilag.

1.D1.58Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Parabel

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

a) Aflæs koefficientens fortegn.

Løsning (håndregning)

Hvis grenene vender opad → a > 0. Hvis nedad → a < 0.

Svar

Følger af åbningsretningen.

1.D1.59Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Parabel — skæring

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

a) Aflæs y-skæringen.

Løsning (håndregning)

y-aksens skæring læses af, og svarer til konstantleddet c.

Svar

Aflæses fra bilag.

1.D1.60Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Parabel

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

a) Aflæs en funktionsværdi.

Løsning (håndregning)

Find x på x-aksen, gå lodret op til grafen, og aflæs y.

Svar

Aflæses fra bilag.

1.D1.61Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Andengradspolynomium

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

a) Bestem antallet af nulpunkter ud fra diskriminantens fortegn.

Løsning (håndregning)

d > 0: to nulpunkter. d = 0: ét. d < 0: ingen.

Svar

Følger af d.

1.D1.62Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Funktion

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

f(x) = 3x − 4. a) Bestem f(2).

Løsning (håndregning)

f(2) = 3·2 − 4 = 2

Svar

f(2) = 2

1.D1.63Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Funktion

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

f(x) = 2·3ˣ. a) Bestem f(2).

Løsning (håndregning)

f(2) = 2·9 = 18

Svar

f(2) = 18

1.D1.64Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Funktion

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

f(x) = √x. a) Bestem f(25).

Løsning (håndregning)

f(25) = 5

Svar

f(25) = 5

1.D1.65Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Aflæsning

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

Grafen for f er givet. a) Aflæs f(x₀) for et opgivet x₀.

Løsning (håndregning)

Aflæses ved opgivet x på bilag.

Svar

Aflæses fra figur.

1.D1.66Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Lineær funktion

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

Grafen for en lineær funktion er givet. a) Bestem hældningen.

Løsning (håndregning)

Hældningen = ændring i y / ændring i x mellem to gitterpunkter.

Svar

Aflæses fra bilag.

1.D1.67Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Funktion — monotoni

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

Grafen er givet. a) Bestem monotoniforhold (voksende/aftagende intervaller).

Løsning (håndregning)

Find intervaller hvor grafen stiger (voksende) og falder (aftagende), adskilt af lokale ekstrema.

Svar

Aflæses fra bilag.

1.D1.68Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Afledet

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

f(x) = 5x. a) Bestem f′(x).

Løsning (håndregning)

f′(x) = 5

Svar

f′(x) = 5

1.D1.69Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Afledet

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

f(x) = 3x². a) Bestem f′(x).

Løsning (håndregning)

f′(x) = 6x

Svar

f′(x) = 6x

1.D1.70Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Afledet

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

f(x) = 4·ln(x). a) Bestem f′(x).

Løsning (håndregning)

f′(x) = 4/x

Svar

f′(x) = 4/x

1.D1.71Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Parabel — tangenthældning

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

Grafen for f er en parabel. a) Bestem tangenthældningen i et opgivet punkt eller toppunkt.

Løsning (håndregning)

I toppunktet er f′ = 0. Ellers aflæses tangent eller bestemmes f′(x₀).

Svar

Følger af f′ eller aflæsning.

1.D1.72Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Aflæsning

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

Grafen for et andengradspolynomium er givet. a) Aflæs et nulpunkt.

Løsning (håndregning)

Læses som x-værdi hvor grafen skærer x-aksen.

Svar

Aflæses fra bilag.

1.D1.73Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Aflæsning

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

a) Aflæs toppunktets y-koordinat.

Løsning (håndregning)

Den højeste/laveste y-værdi på grafen.

Svar

Aflæses fra bilag.

1.D1.74Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Tangenthældning

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

a) Bestem hældningen af tangenten i et opgivet punkt på en graf.

Løsning (håndregning)

Læg en linjal langs grafen i punktet (eller brug indtegnet tangent), og bestem hældningen som ændring i y / ændring i x.

Svar

Aflæses fra bilag.

1.D1.75Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Harmonisk svingning

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

Grafen for en harmonisk svingning er givet. a) Bestem perioden T.

Løsning (håndregning)

Perioden er afstanden mellem to ens punkter på grafen, fx mellem to topværdier.

Svar

Aflæses som afstand mellem topværdier.

1.D1.76Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Amplitude

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

a) Bestem amplituden A.

Løsning (håndregning)

A = (max − min)/2

Svar

Halvdelen af svingningens højde.

1.D1.77Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Ligevægtsværdi

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

f(x) = 3·sin(2x − 1) + d. a) Bestem ligevægtsværdien d.

Løsning (håndregning)

d = (max + min)/2

Svar

Gennemsnittet af max- og min-værdi.

1.D1.78Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Stamfunktion

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

a) Bestem ∫ x⁵ dx.

Løsning (håndregning)

∫ x⁵ dx = x⁶/6 + k

Svar

x⁶/6 + k

1.D1.79Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Stamfunktion

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

a) Bestem ∫ 6x² dx.

Løsning (håndregning)

∫ 6x² dx = 6·x³/3 + k = 2x³ + k

Svar

2x³ + k

1.D1.80Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Stamfunktion

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

a) Bestem ∫ 4·cos(x) dx.

Løsning (håndregning)

∫ 4·cos(x) dx = 4·sin(x) + k

Svar

4·sin(x) + k

1.D1.81Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Stamfunktion

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

f(x) = 12x⁵. a) Bestem en stamfunktion F.

Løsning (håndregning)

F(x) = 12·x⁶/6 = 2x⁶

Svar

F(x) = 2x⁶ (+ vilkårlig konstant).

1.D1.82Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Bestemt integral

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

Området M afgrænset af f og x-aksen mellem x = 1 og x = 5 har areal 36. a) Bestem ∫₁⁵ f(x) dx.

Løsning (håndregning)

Hvis grafen ligger over x-aksen, er integralet lig arealet:

Svar

∫₁⁵ f(x) dx = 36 (under antagelse om at f ≥ 0).

1.D1.83Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Hældningsfelt

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

Et hældningsfelt er givet. a) Skitsér en løsning gennem punkt P.

Løsning (håndregning)

Tegn en jævn kurve gennem P, der hele tiden følger linjeelementernes retning.

Svar

Følges på bilag.

1.D1.84Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Linjeelement

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

y′ = x + 2y, P(1, 3). a) Bestem linjeelementet i P.

Løsning (håndregning)

y′(1, 3) = 1 + 2·3 = 7

Et lille linjestykke gennem P med hældning 7.

Svar

Hældning 7 i P(1, 3).

1.D1.85Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Sandsynlighed

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

Lykkehjul med 8 felter — antag fx 3 røde og 2 gule. a) P(rød eller gul) ved ét drej?

Løsning (håndregning)

P = (3 + 2)/8 = 5/8 = 0,625

Svar

0,625 (afhænger af farvefordeling på bilag).

1.D1.86Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Sandsynlighed — uafhængighed

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

Lykkehjulet har 8 felter (4 røde, 2 blå, 1 gul, 1 rød — i alt 2 blå). Lykkehjulet drejes 2 gange. a) Bestem sandsynligheden for, at pilen peger på et blåt felt begge gange.

Løsning (håndregning)

Der er 2 blå ud af 8 felter, så P(blå) = 2/8 = 1/4. De to drejninger er uafhængige:

P(blå begge gange) = (1/4)² = 1/16 = 0,0625

Svar

P = 1/16 ≈ 0,0625

1.D1.87Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Kombinatorik

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

a) Bestem K(7, 2).

Løsning (håndregning)

K(7, 2) = 7!/(2!·5!) = (7·6)/2 = 21

Svar

K(7, 2) = 21

1.D1.88Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Binomialfordeling

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

X ∼ B(12; 0,4). a) Bestem middelværdien.

Løsning (håndregning)

E(X) = n·p = 12·0,4 = 4,8

Svar

E(X) = 4,8

1.D1.89Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Normalfordeling

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

Tæthedsfunktionen for X er givet. a) Bestem middelværdien μ.

Løsning (håndregning)

μ er symmetriaksens x-koordinat (toppunktet på klokkekurven).

Svar

Aflæses fra bilag.

1.D1.90Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Normalfordeling

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

Fordelingsfunktionen F er givet. a) Bestem middelværdien μ.

Løsning (håndregning)

μ aflæses som x-værdi hvor F(x) = 0,5 (medianen, der falder sammen med middelværdien for en normalfordeling).

Svar

x-værdi hvor F = 0,5 — aflæses fra bilag.

Kapitel 2

Tal og algebra (Delprøve 1 + 2)

Reduktioner, ligninger, andengradsligninger, isolering og anvendt formelregning. D1 med håndregning, D2 med TI-Nspire.

Delprøve 1 — uden hjælpemidler

2.D1.1Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Brøk

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

a) Reducér (a³ · 4a)/a.

Løsning (håndregning)

(a³·4a)/a = 4·a^(3+1−1) = 4a³

Svar

4a³

2.D1.2Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Potensregler i brøk

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

a) Reducér (a⁵ · a³)/a².

Løsning (håndregning)

= a^(5+3−2) = a⁶

Svar

a⁶

2.D1.3Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Parentes

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

a) Reducér 3·(a + b) − 2a.

Løsning (håndregning)

= 3a + 3b − 2a = a + 3b

Svar

a + 3b

2.D1.4Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Parentes

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

a) Reducér a·(a + b) − a².

Løsning (håndregning)

= a² + ab − a² = ab

Svar

2.D1.5Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Kvadratsætning

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

a) Reducér (a + b)² − a².

Løsning (håndregning)

= a² + 2ab + b² − a² = 2ab + b² = b(2a + b)

Svar

2ab + b²

2.D1.6Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Kvadratsætninger

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

a) Reducér (a + b)(a − b) − a² + 2b².

Løsning (håndregning)

(a+b)(a−b) = a² − b²

= a² − b² − a² + 2b² = b²

Svar

b²

2.D1.7Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Kvadratsætninger

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

a) Reducér (2a + b)(2a − b) + b².

Løsning (håndregning)

(2a+b)(2a−b) = 4a² − b²

= 4a² − b² + b² = 4a²

Svar

4a²

2.D1.8Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Parenteser

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

a) Reducér (3a + b)(2a − 4b) − 5a².

Løsning (håndregning)

(3a+b)(2a−4b) = 6a² − 12ab + 2ab − 4b² = 6a² − 10ab − 4b²

− 5a² ⇒ a² − 10ab − 4b²

Svar

a² − 10ab − 4b²

2.D1.9Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Brøk

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

a) Reducér (3·(4a + b) − 3b)/(2a).

Løsning (håndregning)

Tæller: 12a + 3b − 3b = 12a

12a/(2a) = 6

Svar

2.D1.10Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Brøk — fælles faktor

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

a) Reducér (3a − 3b)/(a − b).

Løsning (håndregning)

= 3(a − b)/(a − b) = 3

Svar

2.D1.11Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Kvadratsætning + brøk

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

a) Reducér (9a² − 6ab + b²)/(3a − b).

Løsning (håndregning)

Tælleren er kvadratet på (3a − b):

9a² − 6ab + b² = (3a)² − 2·(3a)·b + b² = (3a − b)²

(3a − b)²/(3a − b) = 3a − b

Svar

3a − b

2.D1.12Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Ligning

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

a) Løs 3·(x − 2) = 21 + 6x.

Løsning (håndregning)

3x − 6 = 21 + 6x

−3x = 27 ⇒ x = −9

Svar

x = −9

2.D1.13Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Ligning

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

a) Løs (x − 4)/2 = 5.

Løsning (håndregning)

x − 4 = 10 ⇒ x = 14

Svar

x = 14

2.D1.14Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Nul-reglen

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

a) Løs (x + 5)·x = 0.

Løsning (håndregning)

Nul-reglen: et produkt er 0 hvis (mindst) én faktor er 0.

x + 5 = 0 ∨ x = 0 ⇒ x = −5 ∨ x = 0

Svar

x = −5 eller x = 0

2.D1.15Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Nul-reglen + ln

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

a) Løs ln(x)·(6 − 3x) = 0.

Løsning (håndregning)

Krav: x > 0 (for ln). Nul-reglen:

ln(x) = 0 ⇒ x = 1

6 − 3x = 0 ⇒ x = 2

Svar

x = 1 eller x = 2

2.D1.16Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Nul-reglen + andengrad

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

a) Løs eˣ·(x² − 2x − 3) = 0.

Løsning (håndregning)

eˣ > 0 altid, så kun andengradsfaktoren tæller.

x² − 2x − 3 = 0

d = 4 + 12 = 16, √d = 4

x = (2 ± 4)/2 ⇒ x = 3 eller x = −1

Svar

x = −1 eller x = 3

2.D1.17Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Bestem konstant

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

Bestem k, så x = 3 er løsning til x³ = k·x + 6.

Løsning (håndregning)

Indsæt x = 3:

27 = 3k + 6 ⇒ 3k = 21 ⇒ k = 7

Svar

k = 7

2.D1.18Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Diskriminant

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

x² + 7x − 10 = 0. a) Bestem d og antal løsninger.

Løsning (håndregning)

d = 7² − 4·1·(−10) = 49 + 40 = 89

d > 0 ⇒ to forskellige reelle løsninger.

Svar

d = 89; ligningen har to løsninger.

2.D1.19Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Andengradsligning

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

2x² − 2x − 12 = 0. a) Bestem d og løs ligningen.

Løsning (håndregning)

d = (−2)² − 4·2·(−12) = 4 + 96 = 100

x = (2 ± 10)/(2·2) = (2 ± 10)/4

x = 3 eller x = −2

Svar

d = 100, x = −2 eller x = 3.

2.D1.20Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Bestem c

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

I 4x² + 7x + c = 0 er x = −3 løsning. a) Bestem c.

Løsning (håndregning)

4·9 + 7·(−3) + c = 0

36 − 21 + c = 0 ⇒ c = −15

Svar

c = −15

2.D1.21Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Bestem b

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

I x² + b·x − 6 = 0 er x = 2 løsning. a) Bestem b.

Løsning (håndregning)

4 + 2b − 6 = 0 ⇒ 2b = 2 ⇒ b = 1

Svar

b = 1

2.D1.22Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Diskriminant = 0

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

Bestem c så 2x² − 12x + c = 0 har præcis én løsning.

Løsning (håndregning)

Kræver d = 0:

(−12)² − 4·2·c = 0

144 − 8c = 0 ⇒ c = 18

Svar

c = 18

2.D1.23Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Diskriminant = 0

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

Bestem b så x² + b·x + 16 = 0 har præcis én løsning.

Løsning (håndregning)

b² − 64 = 0 ⇒ b = ±8

Svar

b = 8 eller b = −8.

2.D1.24Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Isolering

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

a) Isolér V i 4V − W = 7.

Løsning (håndregning)

4V = 7 + W ⇒ V = (7 + W)/4

Svar

V = (W + 7)/4

2.D1.25Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Isolering

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

a) Isolér y i 15x − 5y + 50 = 0.

Løsning (håndregning)

5y = 15x + 50 ⇒ y = 3x + 10

Svar

y = 3x + 10

2.D1.26Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Isolering

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

a) Isolér L i (2L − M)/N = 9.

Løsning (håndregning)

2L − M = 9N

L = (9N + M)/2

Svar

L = (9N + M)/2

2.D1.27Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Areal — sammensat figur

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

Figuren består af en retvinklet trekant ABC (ret vinkel i C) med |AB| = 5 og |AC| = 3, samt en halvcirkel med diameter BC. a) Bestem arealet af figuren.

Løsning (håndregning)

Først findes BC med Pythagoras (AB er hypotenusen):

BC = √(AB² − AC²) = √(25 − 9) = √16 = 4

Halvcirklen har diameter BC = 4, dvs. radius r = 2:

A_trekant = (AC · BC)/2 = (3 · 4)/2 = 6

A_halvcirkel = (1/2)·π·r² = (1/2)·π·4 = 2π

A = 6 + 2π ≈ 12,28

Svar

A = 6 + 2π ≈ 12,28

2.D1.28Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Omkreds — sammensat figur

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

Samme figur. a) Bestem omkredsen.

Løsning (håndregning)

Omkredsen = de to "ydre" sider (AB og AC) + halvcirkelbuen med radius 2:

Bue = π·r = 2π

O = AB + AC + 2π = 5 + 3 + 2π = 8 + 2π ≈ 14,28

Svar

O = 8 + 2π ≈ 14,28

2.D1.29Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Areal — udtryk

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

Femkant ABCDE = retvinklet trekant ADE + kvadrat ABCD. AE = x, DE = 2x. a) Bestem arealet udtrykt ved x.

Løsning (håndregning)

I retvinklet trekant ADE er AE = x og DE = 2x kateter (vinklen i E er ret). Hypotenusen er AD = √(x² + (2x)²) = √5·x, og kvadratets side er AD.

A_kvadrat = AD² = 5x²

A_trekant = (1/2)·AE·DE = (1/2)·x·2x = x²

A = 5x² + x² = 6x²

Svar

A = 6x²

2.D1.30Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Omkreds — udtryk

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

Samme femkant med AE = 3x, DE = 4x. a) Bestem omkredsen udtrykt ved x.

Løsning (håndregning)

Hypotenusen AD = √((3x)² + (4x)²) = 5x. Kvadratets side = 5x. Omkredsen er hele ydersiden: AE + DE i trekanten (de to kateter) + tre sider af kvadratet (AB + BC + CD):

O = 3x + 4x + 3·5x = 22x

Svar

O = 22x

2.D1.31Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Andengradsligning fra geometri

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

Rektangel med sider x og x + 2 har areal 15. a) Bestem x.

Løsning (håndregning)

x(x + 2) = 15

x² + 2x − 15 = 0

d = 4 + 60 = 64

x = (−2 ± 8)/2 = 3 eller −5

x > 0, så x = 3.

Svar

x = 3

2.D1.32Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Indsættelse i formel

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

Pullert med A = 2πr(h + r), h = 80 cm, r = 20 cm. a) Bestem A.

Løsning (håndregning)

A = 2π·20·(80 + 20) = 40π·100 = 4000π

≈ 12 566 cm²

Svar

A = 4000π cm² ≈ 12 566 cm²

2.D1.33Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Bevisførelse

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

Vis at A = 2πr·(h + r) for pulleren (cylinder + halvkugle).

Løsning (håndregning)

Overfladen består af cylindersiden, cylinderens bund og halvkuglens krumme flade (toppen er ikke ”bund”, men afsluttes af halvkuglen):

A_cyl-side = 2πr·h

A_bund = πr²

A_halvkugle = (1/2)·4πr² = 2πr²

A = 2πr·h + πr² + 2πr² = 2πr·h + 3πr²

For overfladen uden bund (typisk pullert står på jord): A = 2πr·h + 2πr² = 2πr·(h + r).

Svar

Sammenstilles cylindersiden (2πr·h) og halvkuglen (2πr²) til 2πr·(h + r).

Delprøve 2 — med TI-Nspire

2.D2.1Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Rumfang — indsættelse

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

Pullert: V = πr²·(h + (2/3)·r), h = 120 cm, r = 25 cm. a) Bestem V.

Løsning med TI-Nspire

Indtast formlen direkte i Nspire:

Nspire · Calculator1.1

›π·25^2·(120 + (2/3)·25)

→≈ 268 994.2

cm³ (afrund til hele tal eller liter).

Omregn: 268 994 cm³ ≈ 269 L.

Svar

V ≈ 268 994 cm³ ≈ 269 L

2.D2.2Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Bevis

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

Vis at V = πr²·(h + (2/3)·r).

Løsning med TI-Nspire

Cylinder: V_cyl = πr²·h. Halvkugle: V_½kugle = (1/2)·(4/3)·πr³ = (2/3)·πr³.

V = πr²·h + (2/3)·πr³ = πr²·(h + (2/3)·r)

I Nspire kan man bekræfte algebraisk:

Menu → 3: Algebra → 1: Solve

Nspire · Calculator1.1

›expand(π·r^2·(h + (2/3)·r))

→π·r²·h + (2·π·r³)/3

Svar

Cylinder + halvkugle giver netop πr²·(h + 2r/3).

2.D2.3Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Indsættelse + ulighed

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

Model: H = 0,8·T + R·(T − 14,4) + 46,4. Risiko hvis H > 68. a) Er der risiko ved T = 25 °C, R = 0,65?

Løsning med TI-Nspire

Nspire · Calculator1.1

›0.8·25 + 0.65·(25 − 14.4) + 46.4

→≈ 73.29

H = 73.29 > 68

Svar

Ja — H ≈ 73,3 > 68, så der er risiko for hede-stress.

2.D2.4Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Sammensat formel

Officiel opgavetekst (PDF)

Opgave

D = (243,0·N)/(1 − N), hvor N = (ln(R) + 17,6·T/(243,0 + T))/17,6. a) Bestem D ved R = 0,65 og T = 32.

Løsning med TI-Nspire

Gem N som mellemregning i Nspire, og udregn D:

Nspire · Calculator1.1

›n := (ln(0.65) + 17.6·32/(243 + 32))/17.6

→≈ 0.1014

Nspire · Calculator1.1

›243·n/(1 − n)

→≈ 27.4

Dugpunkt i °C.

Svar

D ≈ 27,4 °C

Kapitel 3

Geometri (D1)

Klassisk geometri — Pythagoras, ensvinklede trekanter, sinus-/cosinusrelationer, areal.

Delprøve 1 — uden hjælpemidler

3.D1.1Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Retvinklet trekant — cos

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

I trekant ABC er ∠C = 90°, ∠A = 72,5° og hypotenusen AB = 7. Siden b = AC er den katete, der ligger op til A, så

cos(A) = AC/AB = b/7

Fra enhedscirklen aflæses cos(72,5°) ≈ 0,3:

b = 7 · cos(72,5°) ≈ 7 · 0,3 = 2,1

Svar

b ≈ 2,1

3.D1.2Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Retvinklet trekant — cos

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

I DEF er ∠F = 90°, ∠D = 53,1° og kateten DF = 15 ligger op til D. Den søgte side f = DE er hypotenusen:

cos(D) = DF/DE = 15/f

Tabel: cos(53,1°) = 0,6.

f = 15/0,6 = 25

Svar

f = 25

3.D1.3Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Retvinklet trekant — sin

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

I DEF er ∠E = 90°, ∠D = 17,5° og DF = 9 (hypotenusen). Siden d = EF står over for D:

sin(D) = EF/DF = d/9

Fra enhedscirklen aflæses sin(17,5°) ≈ 0,3:

d = 9 · 0,3 = 2,7

Svar

d ≈ 2,7

3.D1.4Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Retvinklet trekant — sin

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

I ABC er ∠C = 90°, ∠A = 23,6° og kateten BC = 12 står over for A. Siden c = AB er hypotenusen:

sin(A) = BC/AB = 12/c

Tabel: sin(23,6°) = 0,4.

c = 12/0,4 = 30

Svar

c = 30

3.D1.5Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Retvinklet trekant — tan

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

I ABC er ∠C = 90°, ∠A = 16,7° og kateten BC = 2,7 står over for A. Siden b = AC ligger op til A, så

tan(A) = BC/AC = 2,7/b

Fra enhedscirklen aflæses sin(16,7°) ≈ 0,29 og cos(16,7°) ≈ 0,96, så tan(16,7°) ≈ 0,30:

b = 2,7/0,30 = 9

Svar

b ≈ 9

3.D1.6Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Retvinklet trekant — tan

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

I ABC er ∠C = 90°, ∠A = 31° og kateten AC = 5 ligger op til A. Siden a = BC står over for A:

tan(A) = a/AC ⇒ a = 5 · tan(31°)

Tabel: tan(31°) = 0,6.

a = 5 · 0,6 = 3

Svar

a = 3

3.D1.7Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Cosinusrelationen

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Sider: a = BC = 2, b = CA = 5, c = AB = 4. Vinklen C står over for c, så cosinusrelationen giver:

cos(C) = (a² + b² − c²)/(2ab)

= (4 + 25 − 16)/(2 · 2 · 5) = 13/20 = 0,65

Svar

cos(C) = 13/20 = 0,65

3.D1.8Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Cosinusrelationen — bevis

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Sider: a = BC = 4, b = CA = 4, c = AB = 5. Cosinusrelationen for vinkel A:

cos(A) = (b² + c² − a²)/(2bc)

= (16 + 25 − 16)/(2 · 4 · 5) = 25/40 = 5/8 ✓

Svar

Identiteten cos(A) = 5/8 er vist.

3.D1.9Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Cosinusrelationen — bevis

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

I PQR: r = PQ = 5, q = PR = 9, og cos(P) = 0,4. Siden p står over for P:

p² = q² + r² − 2qr · cos(P)

= 81 + 25 − 2 · 9 · 5 · 0,4 = 106 − 36 = 70

p = √70 ✓

Svar

p = √70

3.D1.10Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Cosinusrelationen

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

I ABC: a = BC = 4, b = CA = 5, cos(C) = −0,2. Siden c står over for C:

c² = a² + b² − 2ab · cos(C)

= 16 + 25 − 2 · 4 · 5 · (−0,2) = 41 + 8 = 49

c = √49 = 7

Svar

c = 7

3.D1.11Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Sinusrelationen

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

I ABC: a = BC = 4, ∠A = 17,4°, ∠B = 64,2°. Siden b står over for B:

b/sin(B) = a/sin(A) ⇒ b = a · sin(B)/sin(A)

b = 4 · sin(64,2°)/sin(17,4°) = 4 · 0,9/0,3 = 12

Svar

b = 12

3.D1.12Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Sinusrelationen

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

I ABC: c = AB = 6, ∠B = 53,1°, ∠C = 23,6°. Siden b står over for B:

b/sin(B) = c/sin(C)

b = 6 · sin(53,1°)/sin(23,6°) = 6 · 0,8/0,4 = 12

Svar

b = 12

3.D1.13Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Arealformlen

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

I ABC: a = BC = 8, b = CA = 10, mellemliggende vinkel ∠C = 64,1°, sin(64,1°) = 0,9.

T = (1/2) · a · b · sin(C)

= (1/2) · 8 · 10 · 0,9 = 36

Svar

T = 36

3.D1.14Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Arealformlen — bevis

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

I ABC: c = AB = 4, b = CA = 8, mellemliggende vinkel ∠A = 23,6°, sin(23,6°) = 0,4.

T = (1/2) · b · c · sin(A) = (1/2) · 8 · 4 · 0,4 = 6,4 ✓

Svar

Arealet er T = 6,4.

3.D1.15Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Arealformlen — isoler side

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

I ABC: c = AB = 4, ∠A = 44,4°, T = 14, sin(44,4°) = 0,7. Siden b = AC ligger op til vinkel A:

T = (1/2) · b · c · sin(A)

14 = (1/2) · b · 4 · 0,7 = 1,4 · b

b = 14/1,4 = 10

Svar

b = 10

Kapitel 4

Analytisk plangeometri

Vektorer i planen, linjens ligning, cirkler, skæringer og tangenter. D1 + D2.

Delprøve 1 — uden hjælpemidler

4.D1.1Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Vektorlængde

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Længden af en 2D-vektor med koordinater (x, y) beregnes som |a| = √(x² + y²). For a = (5, -12):

|a| = √(5² + (-12)²) = √(25 + 144) = √169 = 13

Svar

|a| = 13

4.D1.2Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Vektorlængde — parameter

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

a) Når t = 6 er a = (6, 8):

|a| = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10

b) Vi ønsker |a| = 17, dvs.

√(t² + 64) = 17 ⇒ t² + 64 = 289 ⇒ t² = 225 ⇒ t = ±15

Svar

a) |a| = 10. b) t = 15 eller t = -15.

4.D1.3Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Vektorlængde — løs for k

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

For a = (2k, 6) kræves |a| = 10:

(2k)² + 6² = 10² ⇒ 4k² + 36 = 100 ⇒ 4k² = 64 ⇒ k² = 16

Den positive løsning er k = 4.

Svar

k = 4

4.D1.4Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Linearkombination

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Med a = (2, -3) og b = (4, 1):

2a = (4, -6), 3b = (12, 3)

c = 2a + 3b = (4 + 12, -6 + 3) = (16, -3)

Svar

c = (16, -3)

4.D1.5Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Linearkombination

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Med a = (-2, 6) og b = (4, 3):

½·a = (-1, 3), 5b = (20, 15)

c = ½a − 5b = (-1 − 20, 3 − 15) = (-21, -12)

Svar

c = (-21, -12)

4.D1.6Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Parallelle vektorer

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Først beregnes a + b = (4+6, -7+2) = (10, -5). Vi søger k så (10, -5) = k·(-20, 10):

x: 10 = -20k ⇒ k = -½

y: -5 = 10·(-½) = -5 ✓

Begge koordinater giver samme k, så et sådant tal findes.

Svar

Ja, k = -½

4.D1.7Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Linearkombination

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Med a = (-3, 5) og b = (7, 6):

2a = (-6, 10), 3b = (21, 18)

c = 2a + 3b = (-6 + 21, 10 + 18) = (15, 28)

Svar

c = (15, 28)

4.D1.8Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Skalarprodukt

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Skalarproduktet af a = (a₁, a₂) og b = (b₁, b₂) er a·b = a₁b₁ + a₂b₂:

a·b = 3·(-2) + 7·5 = -6 + 35 = 29

Svar

a · b = 29

4.D1.9Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Ortogonalitet

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

To vektorer står vinkelret på hinanden netop hvis a · b = 0. Beregner:

a · b = 13·(-8) + 9·12 = -104 + 108 = 4

Da a · b = 4 ≠ 0 er vinklen mellem vektorerne ikke ret.

Svar

Vinklen er ikke ret (a · b = 4).

4.D1.10Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Koordinatsæt fra figur + ortogonalitet

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

a) Aflæsning på koordinatsystemet (start i (0,0), endepunkt læses):

a = (6, 2), b = (-2, 5)

b) To vektorer er ortogonale netop hvis deres skalarprodukt er 0:

a · b = 6·(-2) + 2·5 = -12 + 10 = -2 ≠ 0

Altså er a og b ikke ortogonale.

Svar

a = (6, 2), b = (-2, 5); a · b = -2 ≠ 0, så ikke ortogonale.

4.D1.11Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Skalarprodukt — ligningssystem

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Skriv c = (c₁, c₂). Skalarprodukterne giver to ligninger:

a·c = 4c₁ − 3c₂ = 6

b·c = 5c₁ + 4c₂ = 23

Fra første ligning: c₁ = (6 + 3c₂)/4. Indsat i anden:

5(6 + 3c₂)/4 + 4c₂ = 23 ⇒ 30 + 15c₂ + 16c₂ = 92 ⇒ 31c₂ = 62 ⇒ c₂ = 2

c₁ = (6 + 6)/4 = 3

Svar

c₁ = 3, c₂ = 2

4.D1.12Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Skalarprodukt — parameter / ortogonalitet

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

a) For t = 3: a = (-6, 1) og b = (2, 10).

a·b = -6·2 + 1·10 = -12 + 10 = -2

b) Ortogonalitet kræver a·b = 0:

(-2t)·2 + 1·(3t+1) = -4t + 3t + 1 = -t + 1 = 0 ⇒ t = 1

Svar

a) a·b = -2. b) t = 1.

4.D1.13Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Skalarprodukt — parameter / ortogonalitet

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

a) For t = 3: a = (4, -4) og b = (6, 3).

a·b = 4·6 + (-4)·3 = 24 − 12 = 12

b) Ortogonalitet: a·b = 0:

(t+1)·2t + (-4)·3 = 2t² + 2t − 12 = 0 ⇒ t² + t − 6 = 0

t = (-1 ± √(1 + 24))/2 = (-1 ± 5)/2 ⇒ t = 2 eller t = -3

Svar

a) a·b = 12. b) t = 2 eller t = -3.

4.D1.14Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Determinant

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

For a = (a₁, a₂) og b = (b₁, b₂) er det(a, b) = a₁b₂ − a₂b₁:

det(a, b) = 3·12 − 13·5 = 36 − 65 = -29

Svar

det(a, b) = -29

4.D1.15Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Parallelle vektorer

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

To vektorer er parallelle netop hvis det(a, b) = 0:

det(a, b) = 7·3 − 4·5 = 21 − 20 = 1 ≠ 0

Altså er a og b ikke parallelle.

Svar

Nej, vektorerne er ikke parallelle (det = 1 ≠ 0).

4.D1.16Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Parallelogramareal

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Arealet af parallelogrammet udspændt af a og b er |det(a, b)|:

det(a, b) = (-3)·6 − 7·1 = -18 − 7 = -25

A = |-25| = 25

Svar

A = 25

4.D1.17Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Parallelogramareal med forbindelsesvektor

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Forbindelsesvektoren: AB = B − A = (14−7, 11−16) = (7, -5).

det(AB, c) = 7·5 − (-5)·(-3) = 35 − 15 = 20

A = |20| = 20

Svar

A = 20

4.D1.18Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Trekantareal fra to vektorer

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Trekantens areal er det halve af parallelogrammets: T = ½|det(a, b)|.

det(a, b) = 2·(-6) − 4·5 = -12 − 20 = -32

T = ½·|-32| = 16

Svar

T = 16

4.D1.19Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Trekantareal — aflæsning

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Fra figuren aflæses a = (1, 4) og b = (2, -3) (med begyndelsespunkt i origo).

det(a, b) = 1·(-3) − 4·2 = -3 − 8 = -11

T = ½·|-11| = 5,5

Svar

T = 5,5

4.D1.20Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Trekantareal fra punkter

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Brug to sidevektorer fra A: AB = (-3−2, 1−5) = (-5, -4) og AC = (4−2, -2−5) = (2, -7).

det(AB, AC) = (-5)·(-7) − (-4)·2 = 35 + 8 = 43

T = ½·|43| = 21,5

Svar

T = 21,5

4.D1.21Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Retvinklet trekant — skalarprodukt

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

En trekant er retvinklet i et hjørne netop hvis de to sidevektorer ud fra hjørnet er ortogonale (skalarprodukt 0). Vi beregner sidevektorerne fra C:

CA = A − C = (3−5, 8−4) = (-2, 4)

CB = B − C = (1−5, 2−4) = (-4, -2)

CA · CB = (-2)·(-4) + 4·(-2) = 8 − 8 = 0

Da skalarproduktet er 0, står CA ⊥ CB, så trekanten er retvinklet i C.

Svar

Trekanten er retvinklet i C.

4.D1.22Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Ligebenet trekant — sidelængder

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Beregn de tre sidelængder via afstandsformlen |PQ| = √((q₁−p₁)² + (q₂−p₂)²):

|AB| = √((5−3)² + (-5−4)²) = √(4 + 81) = √85

|AC| = √((14−3)² + (-3−4)²) = √(121 + 49) = √170

|BC| = √((14−5)² + (-3+5)²) = √(81 + 4) = √85

Da |AB| = |BC| = √85 og |AC| = √170 ≠ √85, har trekanten netop to lige lange sider.

Svar

|AB| = |BC| = √85, mens |AC| = √170 — netop to lige sider.

4.D1.23Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Determinant og parallelitet

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

a) For t = -3: a = (4, -6), b = (8, -2).

det(a, b) = 4·(-2) − (-6)·8 = -8 + 48 = 40

b) Vektorerne er parallelle netop hvis det(a, b) = 0:

4·(-2) − 2t·8 = -8 − 16t = 0 ⇒ t = -½

Svar

a) det = 40. b) t = -½.

4.D1.24Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Parallelitet — parameter

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Parallelitet kræver det(a, b) = 0:

3t·(t+3) − 6·(t+1) = 3t² + 9t − 6t − 6 = 3t² + 3t − 6 = 0

t² + t − 2 = 0 ⇒ (t + 2)(t − 1) = 0 ⇒ t = -2 eller t = 1

Svar

t = -2 eller t = 1

4.D1.25Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Determinant — løs for t

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

det(a, b) = 4·6 − 5·t = 24 − 5t = 15

5t = 9 ⇒ t = 9/5

Svar

t = 9/5

4.D1.26Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Projektion af vektor på vektor

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Projektionen af b på a er b_a = (a·b / |a|²) · a.

a · b = 9·2 + 3·4 = 18 + 12 = 30

|a|² = 9² + 3² = 81 + 9 = 90

b_a = (30/90)·(9, 3) = ⅓·(9, 3) = (3, 1)

Svar

b_a = (3, 1)

4.D1.27Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Længde af projektion

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Længden af projektionen af a på b er |a_b| = |a·b| / |b|.

a · b = 7·6 + 1·8 = 42 + 8 = 50

|b| = √(6² + 8²) = √100 = 10

|a_b| = |50| / 10 = 5

Svar

|a_b| = 5

4.D1.28Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Skæringspunkt mellem to linjer

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Sæt udtrykkene for y lig hinanden:

5x − 6 = -2x + 8 ⇒ 7x = 14 ⇒ x = 2

y = 5·2 − 6 = 4

Svar

Skæringspunkt (2, 4).

4.D1.29Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Ortogonale linjer — hældning

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

To ikke-lodrette linjer er ortogonale netop hvis produktet af deres hældninger er -1.

3 · c = -1 ⇒ c = -⅓

Svar

c = -1/3

4.D1.30Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Kollineære punkter

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Tre punkter ligger på samme rette linje netop hvis AB og AC er parallelle, dvs. det(AB, AC) = 0.

AB = (0−(-6), 1−(-2)) = (6, 3)

AC = (30−(-6), 16−(-2)) = (36, 18)

det(AB, AC) = 6·18 − 3·36 = 108 − 108 = 0

Vektorerne er parallelle (faktisk AC = 6·AB), så A, B og C ligger på samme rette linje.

Svar

Ja — det(AB, AC) = 0, så punkterne er kollineære.

4.D1.31Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Vinkelret linje

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Linjen l har hældning 4. En linje vinkelret på l har hældning -1/4 (produkt af hældninger er -1). Linjen går gennem P(0, 7), så y-akse-skæring er 7:

m: y = -¼·x + 7

Svar

m: y = -x/4 + 7

4.D1.32Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Ortogonale linjer + trekantareal

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

a) Hældningerne er 3 og -1/3; produktet er 3·(-1/3) = -1, så linjerne er ortogonale.

b) Trekantens hjørner er skæringspunktet mellem l og m (samme skæring på y-aksen: (0, 6)) samt linjernes skæring med x-aksen:

l: 3x + 6 = 0 ⇒ x = -2 → (-2, 0)

m: -x/3 + 6 = 0 ⇒ x = 18 → (18, 0)

Grundlinjen på x-aksen har længde 18 − (-2) = 20, højden er 6.

A = ½·20·6 = 60

Svar

a) Ja, ortogonale. b) A = 60.

4.D1.33Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Parameterfremstilling fra normalvektor

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

En retningsvektor for l fås ved at "bytte og skifte fortegn" på normalvektoren: r = (-5, 2) (eller (5, -2)).

l: (x, y) = (-4, 3) + t·(-5, 2)

Svar

(x, y) = (-4, 3) + t·(-5, 2)

4.D1.34Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Parameterfremstilling fra to punkter

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Retningsvektor: PQ = (11−5, 3−(-7)) = (6, 10).

l: (x, y) = (5, -7) + t·(6, 10)

Svar

(x, y) = (5, -7) + t·(6, 10)

4.D1.35Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Punkt på linje

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Tjek om der findes t, så (15, 14) = (11, 16) + t·(-4, 2):

x: 11 − 4t = 15 ⇒ t = -1

y: 16 + 2·(-1) = 14 ✓

Begge ligninger giver samme t = -1, så P ligger på l.

Svar

Ja, P(15, 14) ligger på l (svarende til t = -1).

4.D1.36Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Normalvektor fra retningsvektor

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Retningsvektoren er r = (6, 3). En normalvektor fås ved "byt og skift fortegn":

n = (3, -6) (eller (-3, 6))

Svar

n = (3, -6)

4.D1.37Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Tegn linje — håndtegning

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Linjen går gennem P(-4, 6) og har retningsvektor r = (3, -2). Afsæt P i koordinatsystemet. Gå derefter fra P: 3 til højre og 2 ned til punktet (-1, 4); og 3 til venstre og 2 op til (-7, 8). Tegn den rette linje gennem disse punkter.

For at kontrollere: hældningen er -2/3, og linjens ligning kan skrives som y = -⅔(x + 4) + 6 = -⅔x + 10/3.

Svar

Linje gennem P(-4, 6) med hældning -2/3; passerer fx (-1, 4) og (-7, 8).

4.D1.38Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Skæring med x-aksen

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

På x-aksen er y = 0:

-3 + 2t = 0 ⇒ t = 3/2

x = 5 + 3·(3/2) = 5 + 9/2 = 19/2

Svar

P = (19/2, 0) = (9,5; 0)

4.D1.39Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Skæring med y-aksen

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

På y-aksen er x = 0:

5 + ½·t = 0 ⇒ t = -10

y = 0 + (-3)·(-10) = 30

Svar

Skæringspunkt (0, 30).

4.D1.40Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Fra parameterform til linjeligning

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Retningsvektor r = (2, -10) → normalvektor n = (10, 2) (byt og skift fortegn). Linjen går gennem P₀(-3, 18), så normalform:

10·(x − (-3)) + 2·(y − 18) = 0

10x + 30 + 2y − 36 = 0 ⇒ 10x + 2y − 6 = 0

Forkortet med 2: 5x + y − 3 = 0.

Svar

5x + y − 3 = 0

4.D1.41Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Fra parameterform til y = ax + b

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Retningsvektor r = (4, 1) giver hældning a = 1/4. Linjen går gennem (8, -2):

y = ¼·(x − 8) + (-2) = x/4 − 2 − 2 = x/4 − 4

Svar

y = x/4 − 4

4.D1.42Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Fra linjeligning til parameterform

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Normalvektoren aflæses fra koefficienterne: n = (6, 5). En retningsvektor er r = (5, -6) (byt og skift fortegn). Et punkt på linjen: sæt x = 0, så 5y = 3 ⇒ y = 3/5.

l: (x, y) = (0, 3/5) + t·(5, -6)

Svar

(x, y) = (0, 3/5) + t·(5, -6)

4.D1.43Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Vinkelret vektor på linje

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Linjens retningsvektor er r = (2, 4). a står vinkelret på l netop hvis a · r = 0:

a · r = (-2)·2 + 1·4 = -4 + 4 = 0

Altså er a ⊥ l.

Svar

a · r = 0, så a står vinkelret på l.

4.D1.44Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Skæringspunkt — to parameterfremstillinger

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Linjernes koordinatfunktioner sættes lig:

4t = 6 − s og 1 + 4t = 1 + 2s

Den anden giver 4t = 2s ⇒ s = 2t. Indsat i den første:

4t = 6 − 2t ⇒ 6t = 6 ⇒ t = 1

x = 4·1 = 4, y = 1 + 4·1 = 5

Svar

P = (4, 5)

4.D1.45Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Linjeligning fra punkt og normalvektor

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Med normalvektor n = (-2, 3) og punkt P(4, -7):

-2·(x − 4) + 3·(y − (-7)) = 0

-2x + 8 + 3y + 21 = 0 ⇒ -2x + 3y + 29 = 0

Svar

-2x + 3y + 29 = 0

4.D1.46Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Linjeligning fra punkt og retningsvektor

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Retningsvektor r = (-5, 2) → normalvektor n = (2, 5). Med P(-2, 11):

2·(x + 2) + 5·(y − 11) = 0 ⇒ 2x + 5y − 51 = 0

Svar

2x + 5y − 51 = 0

4.D1.47Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Linjeligning gennem to punkter

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Retningsvektor PQ = (3−(-5), 4−8) = (8, -4). Normalvektor n = (-4, -8), forkortet til n = (1, 2). Med P(-5, 8):

1·(x + 5) + 2·(y − 8) = 0 ⇒ x + 2y − 11 = 0

Svar

x + 2y − 11 = 0

4.D1.48Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Normalvektor til linje på y = ax + b form

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Skriv linjen på normalform: y = 4x − 11 ⇔ -4x + y + 11 = 0. Normalvektoren aflæses som koefficienterne foran x og y:

n = (-4, 1) (eller (4, -1))

Svar

n = (-4, 1)

4.D1.49Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Punkt på linje — indsæt i ligning

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Indsæt P(9, 3):

4·9 − 5·3 − 23 = 36 − 15 − 23 = -2 ≠ 0

Da venstresiden ikke er 0, ligger P ikke på l.

Svar

Nej, P ligger ikke på l.

4.D1.50Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Skæring med x-aksen

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

På x-aksen er y = 0:

-3x + 0 + 12 = 0 ⇒ x = 4

Svar

Skæringspunkt (4, 0).

4.D1.51Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Skæring med y-aksen

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

På y-aksen er x = 0:

0 + 3y + 3 = 0 ⇒ y = -1

Svar

Skæringspunkt (0, -1).

4.D1.52Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Afstand fra punkt til linje

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Afstandsformlen for linjen ax + by + c = 0 og punktet (x₀, y₀) er:

dist = |a·x₀ + b·y₀ + c| / √(a² + b²)

dist = |3·5 − 4·4 + 6| / √(9 + 16) = |15 − 16 + 6| / 5 = 5/5 = 1

Svar

Afstanden er 1.

4.D1.53Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Vinkelret linje — parameterfremstilling

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Normalvektoren til l er n = (3, -1). Da m står vinkelret på l, kan n bruges som retningsvektor for m:

m: (x, y) = (2, 5) + t·(3, -1)

Svar

(x, y) = (2, 5) + t·(3, -1)

4.D1.54Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Parallel linje — parameterfremstilling

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Parallelle linjer har samme retningsvektor. Med r = (1, 5) og punkt P(2, 0):

m: (x, y) = (2, 0) + t·(1, 5)

Svar

(x, y) = (2, 0) + t·(1, 5)

4.D1.55Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Parallel linje — linjeligning

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Parallelle linjer har samme normalvektor n = (3, -1). Gennem P(1, -7):

3·(x − 1) − 1·(y + 7) = 0 ⇒ 3x − y − 10 = 0

Svar

3x − y − 10 = 0

4.D1.56Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Lineært ligningssystem

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Elimination: gang første ligning med 3 og anden med 5:

9x + 15y = 6

10x − 15y = 70

Læg sammen: 19x = 76 ⇒ x = 4. Indsæt: 3·4 + 5y = 2 ⇒ y = -2.

Svar

(x, y) = (4, -2)

4.D1.57Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Skæringspunkt — to linjeligninger

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Fra l: y = 18 − x. Indsæt i m:

-8x + 2(18 − x) − 6 = 0 ⇒ -10x + 30 = 0 ⇒ x = 3

y = 18 − 3 = 15

Svar

Skæringspunkt (3, 15).

4.D1.58Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Parallelitet — sammenligning

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Retningsvektor for l: r_l = (2, 6). Linjen m: -3x + y − 12 = 0 har normalvektor (-3, 1) og retningsvektor r_m = (1, 3).

det(r_l, r_m) = 2·3 − 6·1 = 0

Retningsvektorerne er parallelle (faktisk r_l = 2·r_m), så l ∥ m. Punktet (-7, 1) på l opfylder -3·(-7) + 1 − 12 = 10 ≠ 0, så linjerne er ikke sammenfaldende.

Svar

l og m er parallelle (og forskellige).

4.D1.59Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Skæring — parameter og linjeligning

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Indsæt parameterfremstillingens udtryk i ligningen for m:

4 + 3t = -4·(-6 + t) + 1 = 25 − 4t

7t = 21 ⇒ t = 3

x = -6 + 3 = -3, y = 4 + 9 = 13

Svar

Skæringspunkt (-3, 13).

4.D1.60Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Cirklens ligning

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

a) Cirklen med centrum C(a, b) og radius r har ligningen (x − a)² + (y − b)² = r²:

(x − 3)² + (y − 7)² = 25

b) Indsæt P(7, 11):

(7 − 3)² + (11 − 7)² = 16 + 16 = 32 > 25

Da venstresiden er større end r², ligger P uden for cirklen.

Svar

a) (x−3)² + (y−7)² = 25. b) 32 større end 25, så P ligger uden for.

4.D1.61Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Cirkel & y-akse

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

a) Cirklen (x+3)² + (y−5)² = 25 har centrum C(-3, 5) og radius r = 5.

b) Sæt x = 0:

9 + (y − 5)² = 25 ⇒ (y − 5)² = 16 ⇒ y = 9 ∨ y = 1

Svar

a) C(-3,5), r = 5. b) (0, 9) og (0, 1).

4.D1.62Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Cirkel ∩ lodret linje

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Omskriv cirklen: (x−2)² + (y−4)² = 4 + 16 − 10 = 10.

Indsæt x = 3:

1 + (y − 4)² = 10 ⇒ (y − 4)² = 9 ⇒ y = 7 ∨ y = 1

Svar

Skæringspunkter (3, 7) og (3, 1).

4.D1.63Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Cirkel ∩ linje

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Indsæt y = 3x − 12 i cirklens ligning:

(x − 2)² + (3x − 16)² = 100

10x² − 100x + 160 = 0 ⇒ x² − 10x + 16 = 0

x = (10 ± 6)/2 = 8 ∨ 2

x = 8 ⇒ y = 12 og x = 2 ⇒ y = −6.

Svar

Skæringspunkter (8, 12) og (2, −6).

4.D1.64Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Cirkel ∩ parameterlinje

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Indsæt x = 5 − t, y = −1 + t i (x−1)² + (y−2)² = 25:

(4 − t)² + (t − 3)² = 25 ⇒ 2t² − 14t = 0 ⇒ t = 0 ∨ t = 7

t = 0 ⇒ (5, −1) og t = 7 ⇒ (−2, 6).

Svar

Skæringspunkter (5, −1) og (−2, 6).

4.D1.65Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Tangent til cirkel

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

a) (4+2)² + (9−1)² = 36 + 64 = 100. Altså ligger P på cirklen.

b) Centrum C(-2, 1). Vektoren CP = (6, 8) er normalvektor til tangenten i P:

6(x − 4) + 8(y − 9) = 0 ⇔ 3x + 4y − 48 = 0

Svar

Tangent: 3x + 4y − 48 = 0.

4.D1.66Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Cirkelligning & tangent

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

(x + 6)² + (y − 2)² = 25

b) PC = C − P = (−6 − (−2), 2 − 5) = (−4, −3). PC er normalvektor til tangenten i P:

−4(x + 2) − 3(y − 5) = 0 ⇔ 4x + 3y − 7 = 0

Tjek: 4·(−2) + 3·5 − 7 = 0 ✓.

Svar

a) (x+6)² + (y−2)² = 25. b) PC = (−4, −3); tangent: 4x + 3y − 7 = 0.

4.D1.67Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Kvadratkomplettering

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Saml x- og y-led og fuldend kvadraterne:

(x² + 4x + 4) + (y² − 10y + 25) = −13 + 4 + 25 = 16

(x + 2)² + (y − 5)² = 16

Centrum C(−2, 5) (og radius r = 4).

Svar

Centrum C(−2, 5).

4.D1.68Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Kvadratkomplettering

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

(x² − 6x + 9) + (y² + 4y + 4) = 3 + 9 + 4 = 16

(x − 3)² + (y + 2)² = 16

Svar

Centrum C(3, −2), radius r = 4.

4.D1.69Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Midtpunkt

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

M = ((2 + 10)/2, (1 + (−4))/2) = (6, −3/2)

Svar

M(6, −3/2).

4.D1.70Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Cirkel ud fra diameter

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Centrum C er midtpunktet af AB:

C = ((1 + 11)/2, (5 + 9)/2) = (6, 7)

Radius:

r = |AC| = √((6−1)² + (7−5)²) = √29

(x − 6)² + (y − 7)² = 29

Svar

(x − 6)² + (y − 7)² = 29.

4.D1.71Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Aflæs cirkel

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Ligningen (x − 8)² + (y + 4)² = 9 har centrum (8, −4) og radius 3. På figuren ligger den højre cirkel C₂ omkring x = 8, så ligningen tilhører C₂.

Svar

Ligningen hører til C₂.

4.D1.72Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Linje skærer cirkel

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Cirklen har centrum C(3, 8) og radius r = 6. Afstanden fra C til linjen y = 13 er

d = |8 − 13| = 5

Da d = 5 < 6 = r, skærer linjen cirklen i to punkter.

Svar

d = 5 < r = 6, så l og cirklen har to fælles punkter.

4.D1.73Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Parallel linje gennem centrum

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Centrum er C(4, 2). Linjen l har hældning 1/2. Den parallelle linje gennem C:

y − 2 = (1/2)(x − 4) ⇔ y = x/2

Svar

m: y = x/2.

4.D1.74Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Tangent til cirkel

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Cirklen har centrum C(2, 6) og radius r = 5. Afstanden fra C til linjen 4x + 3y − 51 = 0:

d = |4·2 + 3·6 − 51| / √(4² + 3²) = 25/5 = 5

Da d = r, er l tangent til cirklen.

Svar

d = 5 = r, så l er tangent.

4.D1.75Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Linje skærer ej cirkel

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Centrum C(−1, 3), radius r = 4. Linjen y = 2x − 7 skrives som 2x − y − 7 = 0. Afstanden:

d = |2·(−1) − 3 − 7| / √(2² + 1²) = 12/√5 ≈ 5,37

Da d > r, skærer linjen ikke cirklen.

Svar

d ≈ 5,37 > 4 = r, så linjen skærer ikke cirklen.

4.D1.76Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Centrum og radius fra parameter

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Parameterfremstillingen (x, y) = (7, 2) + (4 cos t, 4 sin t) beskriver cirklen med centrum (7, 2) og radius 4.

Svar

Centrum (7, 2), radius 4.

4.D1.77Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Ligning fra parameter

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Centrum (−4, 6), radius 3:

(x + 4)² + (y − 6)² = 9

Svar

(x + 4)² + (y − 6)² = 9.

4.D1.78Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Parameter fra ligning

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Centrum (−3, 7), radius 9:

(x, y) = (−3, 7) + (9 cos t, 9 sin t), 0 ≤ t ≤ 2π

Svar

x = −3 + 9 cos t, y = 7 + 9 sin t.

4.D1.79Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Punkt i given afstand

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Retningsvektoren r = (4, 3) har længde |r| = √(16 + 9) = 5. For at gå 20 m langs r skal vi gange med 20/5 = 4:

B = A + 4·r = (2 + 16, 1 + 12) = (18, 13)

Svar

B(18, 13).

4.D1.80Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Punkt på linje

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Vektor AB = (16 − 6, 7 − 3) = (10, 4). Punktet C ligger forlænget fra B så BC = 2·AB:

C = B + 2·AB = (16 + 20, 7 + 8) = (36, 15)

Svar

C(36, 15).

Delprøve 2 — med TI-Nspire

4.D2.1Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Vinkel & projektion

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

4.D2.1 To vektorer & og B er bestemt ved 6 = i=| "|ogb=|"]. sJas a) Bestem vinklen mellem vektor å og vektor D. b) Bestem projektionen , af vektor 5 på vektor &.

Løsning med TI-Nspire

a) Vinklen mellem to vektorer findes af cos v = (a·b)/(|a|·|b|). Skalarproduktet er a·b = 6·2 + 4·8 = 44, og længderne er |a| = √52, |b| = √68:

Menu → 2: Tal → 4: Vinkel (cos⁻¹)

Nspire · Calculator1.1

›arccos(44/(sqrt(52)·sqrt(68)))

→≈ 42.27°

b) Projektionen findes af b_a = ((a·b)/|a|²)·a = (44/52)·(6,4):

Nspire · Calculator1.1

›(44/52)·{6,4}

→{66/13, 44/13} ≈ {5.077, 3.385}

Svar

a) v ≈ 42,27°. b) b_a = (66/13, 44/13) ≈ (5,08; 3,38).

4.D2.2Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Hældningsvinkel & afstand

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

4.D2.2 — Enlinje / er givet ved ligningen y=0,4x+2,3. a) Bestem ved beregning hældningsvinklen for linjen . b) Bestem afstanden fra punktet P(4.2, —5.1) til linjen .

Løsning med TI-Nspire

a) Hældningstal a = 0,4 giver tan v = 0,4:

Nspire · Calculator1.1

›arctan(0.4)

→≈ 21.80°

b) Omskriv l til 0,4x − y + 2,3 = 0. Afstanden fra P(4,2; -5,1) er

dist = |0,4·4,2 − (−5,1) + 2,3| / √(0,4² + 1²)

Nspire · Calculator1.1

›abs(0.4·4.2 − (−5.1) + 2.3)/sqrt(0.4^2 + 1)

→≈ 8.43

Svar

a) v ≈ 21,80°. b) dist(P, l) ≈ 8,43.

4.D2.3Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Punkter på x-aksen

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

4.D23 — Linjen /er givet ved ligningen y=2x+1. a) Bestem koordinatsættene til hvert af de to punkter på x-aksen, hvor afstanden til linjen / er 7.

Løsning med TI-Nspire

Skriv l på formen 2x − y + 1 = 0. For et punkt (x, 0) på x-aksen er afstanden til linjen

|2x + 1| / √5 = 7 ⇒ |2x + 1| = 7√5

Nspire · Calculator1.1

›solve(abs(2x + 1)/sqrt(5) = 7, x)

→x = (−1 − 7sqrt(5))/2 ≈ −8.326 eller x = (−1 + 7sqrt(5))/2 ≈ 7.326

Svar

P₁ ≈ (−8,33; 0) og P₂ ≈ (7,33; 0).

4.D2.4Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Skæring & vinkel mellem linjer

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

4.D2.4— Tolinjer / og m er givet ved ligningerne 1: 3x+y—5=0 m: 2x-y+1=0 a) Bestem koordinatsættet til skæringspunktet mellem / og m. b) Brug en formel til at bestemme den spidse vinkel mellem / og m.

Løsning med TI-Nspire

a) Løs ligningssystemet:

Menu → 3: Algebra → 7: Solve System

Nspire · Calculator1.1

›solve({3x + y − 5 = 0, 2x − y + 1 = 0}, {x, y})

→x = 4/5, y = 13/5

b) Normalvektorerne er n_l = (3, 1) og n_m = (2, -1). Den spidse vinkel mellem linjerne er

cos v = |n_l · n_m| / (|n_l|·|n_m|) = |6 − 1| / (√10 · √5) = 5/√50 = 1/√2

Nspire · Calculator1.1

›arccos(abs(3·2 + 1·(−1))/(sqrt(10)·sqrt(5)))

→45°

Svar

a) Skæringspunkt (4/5, 13/5) = (0,8; 2,6). b) v = 45°.

4.D2.5Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Skæring & vinkel (parameterform)

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

4.D25 — Tolinjer / og mer givet ved parameterfremstillingerne 2 =2 f f [" |+s y) (1 4 æ 7 -2 m: ("Vel7lér: y)l2 1 a) Bestem koordinatsættet til skæringspunktet mellem / og m. b) Brug en formel il at bestemme den spidse vinkel mellem / og m. Vejledende enkeltopgaver stx A December 2025 Side 56 af 157

Løsning med TI-Nspire

a) Sæt koordinaterne lig hinanden: −2 + 3s = 7 − 2t og 1 + 4s = 2 + t.

Menu → 3: Algebra → 7: Solve System

Nspire · Calculator1.1

›solve({−2 + 3s = 7 − 2t, 1 + 4s = 2 + t}, {s, t})

→s = 1, t = 3

Indsæt s = 1 i l: (x, y) = (−2 + 3, 1 + 4) = (1, 5).

b) Retningsvektorer: r_l = (3, 4), r_m = (−2, 1).

cos v = |r_l · r_m| / (|r_l|·|r_m|) = |−6 + 4| / (5 · √5) = 2/(5√5)

Nspire · Calculator1.1

›arccos(abs(3·(−2) + 4·1)/(5·sqrt(5)))

→≈ 79.70°

Svar

a) Skæringspunkt (1, 5). b) v ≈ 79,70°.

4.D2.6Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Skæring & vinkel (param + ligning)

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

4.D2.6 — Tolinjer / og m er givet ved «DO-Ø y) 7 ) m: 3x+5y-3=0 a) Bestem koordinatsættet til skæringspunktet mellem / og m. b) Brug en formel til at bestemme den spidse vinkel mellem / og m

Løsning med TI-Nspire

a) Indsæt x = 1 + 4t, y = −7 + 2t i m:

Nspire · Calculator1.1

›solve(3(1 + 4t) + 5(−7 + 2t) − 3 = 0, t)

→t = 35/22

Nspire · Calculator1.1

›(1 + 4·35/22, −7 + 2·35/22)

→(81/11, −42/11) ≈ (7.36; −3.82)

b) Retningsvektor for l er r_l = (4, 2) ⇒ normalvektor n_l = (1, −2). Normalvektor for m: n_m = (3, 5).

cos v = |n_l · n_m| / (|n_l|·|n_m|) = |3 − 10| / (√5 · √34) = 7/√170

Nspire · Calculator1.1

›arccos(7/sqrt(170))

→≈ 57.53°

Svar

a) Skæringspunkt (81/11, −42/11) ≈ (7,36; −3,82). b) v ≈ 57,53°.

4.D2.7Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Skæring med x-akse & vinkel

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

4.D2.7— Enlinje / er givet ved parameterfremstillingen 3 5 E E E »)'U 14 a) Bestem ved beregning koordinatsættettil skæringspunktet mellem linjen / og x-aksen, b) Bestem den spidse vinkel mellem linjen / og x-aksen.

Løsning med TI-Nspire

a) Linjen skærer x-aksen når y = 0: 7 + 14t = 0 ⇒ t = −1/2.

Nspire · Calculator1.1

›solve(7 + 14t = 0, t)

→t = −1/2

Nspire · Calculator1.1

›(3 + 5·(−1/2), 0)

→(1/2, 0)

b) Retningsvektor r_l = (5, 14), x-aksens retningsvektor (1, 0).

cos v = |5·1 + 14·0| / (√(25 + 196) · 1) = 5/√221

Nspire · Calculator1.1

›arccos(5/sqrt(221))

→≈ 70.35°

Svar

a) Skæringspunkt (0,5; 0). b) v ≈ 70,35°.

4.D2.8Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Afstand & vinkelret linje

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

4.D2.8 — Enlinje / er givet ved ligningen 6x+7y—-20=0. Et punkt P har koordinatsættet P(3,5) . a) Brug en formel til at bestemme afstanden mellem linjen / og punktet P. En linje m går igennem punktet P og står vinkelret på linjen /. b) Bestem en parameterfremstilling for linjen m.

Løsning med TI-Nspire

a) Afstand fra P(3, 5) til 6x + 7y − 20 = 0:

dist(P, l) = |6·3 + 7·5 − 20| / √(6² + 7²) = |33| / √85 = 33/√85

Nspire · Calculator1.1

›abs(6·3 + 7·5 − 20)/sqrt(6² + 7²)

→≈ 3.579

b) En linje m vinkelret på l har samme retning som l's normalvektor n_l = (6, 7). Da m går gennem P(3, 5):

m: (x, y) = (3, 5) + t · (6, 7)

Svar

a) dist(P, l) = 33/√85 ≈ 3,58. b) m: (x, y) = (3, 5) + t·(6, 7).

4.D2.9Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Cirkel & linje: skæring og tangenter

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

4.D29 — På figuren ses en cirkel givet ved ligningen y (x-1)'+—4) = 100 1 og en linje / givet ved ligningen pelseil. 7 a) Bestem koordinatsættet til hvert af x skæringspunkterne mellem cirklen og linjen / b) Bestem en ligning for hver af de to tangenter til cirklen, som er parallelle med /. Vejledende enkeltopgaver stx A December 2025 Side 57 af 157

Løsning med TI-Nspire

a) Cirkel (x−1)² + (y−4)² = 100 med centrum C(1, 4) og radius r = 10. Linje l: y = x/7 + 11. Indsæt y i cirklens ligning og løs for x:

Menu → 3: Algebra → 1: Solve

Nspire · Calculator1.1

›solve((x−1)² + (x/7 + 11 − 4)² = 100, x)

→x = −7 or x = 7

Sæt ind i linjens ligning: x = 7 ⇒ y = 12 og x = −7 ⇒ y = 10.

b) Tangenter parallelle med l har form y = x/7 + b, dvs. x − 7y + 7b = 0. Afstanden fra C(1, 4) til tangenten skal være r = 10:

Nspire · Calculator1.1

›solve(abs(1 − 7·4 + 7b)/sqrt(1² + 7²) = 10, b)

→b = (27 − 50sqrt(2))/7 or b = (27 + 50sqrt(2))/7

≈ −6.24 og ≈ 13.96

Svar

a) Skæringspunkter: (7, 12) og (−7, 10). b) Tangenter: y = x/7 + (27 ± 50√2)/7 ≈ x/7 − 6,24 og y ≈ x/7 + 13,96.

4.D2.10Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Skæring linje (param) & cirkel

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

4.D2.10 — En cirkel er givet ved ligningen (x—-5) +(»+7)" = 100. En linje / er givet ved parameterfremstillingen x) (-7 4 = +| ») (16 3 a) Bestem koordinatsættet til hvert af skæringspunkterne mellem linjen / og cirklen.

Løsning med TI-Nspire

Cirkel (x−5)² + (y+7)² = 100, centrum C(5, −7), r = 10. Linje l: (x, y) = (−7, −16) + t·(4, 3), dvs. x = −7 + 4t, y = −16 + 3t. Indsæt i cirklen og løs for t:

Menu → 3: Algebra → 1: Solve

Nspire · Calculator1.1

›solve((−7 + 4t − 5)² + (−16 + 3t + 7)² = 100, t)

→t = 1 or t = 5

Indsæt: t = 1 ⇒ (−3, −13) og t = 5 ⇒ (13, −1).

Svar

Skæringspunkterne er (−3, −13) og (13, −1).

4.D2.11Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Hældningsvinkel & cirkel med tangent

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

4.D2.11— Linjen / har ligningen /:_vz_%xu:. a) Bestem ved beregning hældningsvinklen for linjen. En cirkel har centrum i punktet C(6,5) og har linjen / som tangent. b) Bestem en ligning for cirklen

Løsning med TI-Nspire

a) Linjens hældning er a = −1/2. Hældningsvinklen er v = arctan(a):

Nspire · Calculator1.1

›arctan(−1/2)

→≈ −26.57°

Vinklen med x-aksen, regnet positivt mod uret giver 180° − 26.57° = 153.43°.

b) Cirklen har centrum C(6, 5) og l som tangent. Radius = afstand fra C til l: x + 2y − 8 = 0:

Nspire · Calculator1.1

›abs(6 + 2·5 − 8)/sqrt(1² + 2²)

→8/sqrt(5) ≈ 3.578

Cirklens ligning:

(x − 6)² + (y − 5)² = 64/5

Svar

a) v ≈ −26,57° (eller 153,43°). b) (x − 6)² + (y − 5)² = 64/5.

4.D2.12Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Cirkel & tangentpunkter parallelle med vektor

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

4.D2.12— En cirkel har centrum i punktet C(2,-1) og radius r =5. a) Bestem en ligning for cirklen Cirklen har to tangenter, der er parallelle med vektoren V = (;4] , b) Bestem koordinatsættet til hvert af de to tangenters røringspunkter med cirklen,

Løsning med TI-Nspire

a) Centrum C(2, −1) og r = 5:

(x − 2)² + (y + 1)² = 25

b) En tangent parallel med v = (−4, 3) har røringspunkt hvor radius står vinkelret på v. En vektor vinkelret på v er n = (3, 4) med |n| = 5 = r. Røringspunkterne er T = C ± n:

Nspire · Calculator1.1

›[2, −1] + [3, 4]

→[5, 3]

Nspire · Calculator1.1

›[2, −1] − [3, 4]

→[−1, −5]

Svar

a) (x − 2)² + (y + 1)² = 25. b) Røringspunkterne er (5, 3) og (−1, −5).

4.D2.13Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Afstand & tangenter vinkelret på linje

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

4.D2.13— En cirkel er givet ved ligningen (x—-1) +(y—5) =100. En linje / er givet ved ligningen —A4x+3y-80=0. a) Bestem ved beregning afstanden fra linjen / til cirklens centrum. b) Bestem en ligning for hver af de tangenter til cirklen, der står vinkelret på linjen I. Vejledende enkeltopgaver stx A December 2025 Side 58 af 157

Løsning med TI-Nspire

a) Cirklen har centrum C(1, 5) og r = 10. Afstand fra C til l: −4x + 3y − 80 = 0:

Nspire · Calculator1.1

›abs(−4·1 + 3·5 − 80)/sqrt((−4)² + 3²)

→69/5 = 13.8

b) En tangent vinkelret på l har l's retningsvektor som normalvektor. Retningsvektor for l: (3, 4). Tangenten har formen 3x + 4y + c = 0. Krav: afstand fra C til tangenten = r = 10:

Nspire · Calculator1.1

›solve(abs(3·1 + 4·5 + c)/sqrt(3² + 4²) = 10, c)

→c = −73 or c = 27

Svar

a) dist(C, l) = 69/5 = 13,8. b) Tangenter: 3x + 4y + 27 = 0 og 3x + 4y − 73 = 0.

4.D2.14Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Diameter via tangentpunkt

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

4.D2.14— På figuren vises en cirkel og en linje / . y Linjen / har ligningen 1 p-—lx+8. en ? 2 Linjen / er tangent til cirklen i punktet P(2,7). ! . o Punktet Ø ligger på y-aksen, og linjestykket PO er diameter i cirklen. x a) Bestem koordinatsættet til punktet O.

Løsning med TI-Nspire

Da l er tangent i P(2, 7), står diameteren PQ vinkelret på l. Linjens hældning er −1/2, så vinkelret hældning er 2. Linjen gennem P med hældning 2 er y = 2x + 3. Sæt x = 0 (Q på y-aksen):

Nspire · Calculator1.1

›2·0 + 3

→3

Alternativt: solve({y = 2x + 3, x = 0}, {x, y})

Svar

Q = (0, 3).

4.D2.15Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Punkt med samme afstand til to punkter

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

4.D2.15— 1et koordinatsystem er givet to punkter y A(4,5) og B(6,1) 1 samt en lodret linje / med ligningen AGS) l x=2. Et punkt P(2,y) ligger på linjen /. a) Bestem y, så |PA|=|PB]. PaD B6.D x

Løsning med TI-Nspire

Sæt |PA| = |PB| med P(2, y), A(4, 5) og B(6, 1):

Nspire · Calculator1.1

›solve(sqrt((2−4)² + (y−5)²) = sqrt((2−6)² + (y−1)²), y)

→y = 3/2

Svar

y = 3/2 = 1,5.

4.D2.16Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Punkt på x-akse med given afstand til linje

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

4.D2.16— En linje / er givet ved ligningen y-2x-8. Punktet P(x,0) ligger på x-aksen. a) Bestem de to værdier af x, hvor afstanden mellem linjen / og punktet P er lig 3. Vejledende enkeltopgaver stx A December 2025 Side 59 af 157

Løsning med TI-Nspire

Linjen y = 2x − 8 skrives som 2x − y − 8 = 0. For P(x, 0) kræves afstand 3:

Nspire · Calculator1.1

›solve(abs(2x − 0 − 8)/sqrt(2² + (−1)²) = 3, x)

→x = (8 − 3sqrt(5))/2 or x = (8 + 3sqrt(5))/2

≈ 0.646 og ≈ 7.354

Svar

x = (8 ± 3√5)/2, dvs. x ≈ 0,65 og x ≈ 7,35.

4.D2.17Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Afstand cirkel↔linje & tangent parallel med linje

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

4.D2.17 — På figuren ses en cirkel givet ved ligningen > (x—4) +(y+2) =36 LØ å og en linje / givet ved ligningen e 1 " pe—x+5. =g a) Bestem ved brug af en formel F afstanden mellem cirklen og linjen /. En anden linje m er givet ved ligningen y=lx+b, hvorb> 0. På b) Bestem tallet p, så linjen m er tangent til cirklen.

Løsning med TI-Nspire

a) Cirklen har centrum C(4, −2) og r = 6. Linjen l: y = x/4 + 5 skrives som x − 4y + 20 = 0. Afstand fra C til l:

dist(C, l) = |4 − 4·(−2) + 20| / √(1² + 4²) = 32/√17

Nspire · Calculator1.1

›abs(4 − 4·(−2) + 20)/sqrt(1² + 4²)

→32/sqrt(17) ≈ 7.761

Afstanden mellem cirkel og linje: 32/√17 − 6 ≈ 1,76.

b) Linje m: y = x/4 + b skrives som x − 4y + 4b = 0. Tangent ⇒ dist(C, m) = 6:

Nspire · Calculator1.1

›solve(abs(4 − 4·(−2) + 4b)/sqrt(17) = 6 and b > 0, b)

→b = (3·sqrt(17) − 6)/2 ≈ 3.184

Svar

a) dist(C, l) = 32/√17 ≈ 7,76 (afstand cirkel↔linje ≈ 1,76). b) b = (3√17 − 6)/2 ≈ 3,18.

4.D2.18Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Skæring med cirkel & tangentbetingelse

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

4.D2.18 — En cirkel er givet ved ligningen (x-2) +(y—6) =169. En linje er givet ved ligningen 12x+5y+c=0, hvorcerettal. a) Bestem koordinatsættet til hvert af skæringspunkterne mellem linjen og cirklen, når c=60. b) Bestem de værdier af c, hvor linjen er tangent til cirklen. Vejledende enkeltopgaver stx A December 2025 Side 60 af 157

Løsning med TI-Nspire

Cirklen har centrum C(2, 6) og r = 13.

a) Med c = 60: indsæt y = (−60 − 12x)/5 i cirklens ligning:

Menu → 3: Algebra → 1: Solve

Nspire · Calculator1.1

›solve({(x−2)² + (y−6)² = 169, 12x + 5y + 60 = 0}, {x, y})

→(x, y) ≈ (−2.40; −6.23) eller (−9.79; 11.49)

b) Tangent ⇒ dist(C, l) = 13:

Nspire · Calculator1.1

›solve(abs(12·2 + 5·6 + c)/sqrt(12² + 5²) = 13, c)

→c = 115 or c = −223

Svar

a) Skæringspunkter ≈ (−2,40; −6,23) og (−9,79; 11,49). b) c = 115 eller c = −223.

4.D2.19Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Cirkel i park & afstand til sti

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

4.D2.19 y k dG x På figuren ses en model af en park indtegnet i et koordinatsystem med enheden meter på begge akser. I parken er der anlagt en cirkelformet plads givet ved ligningen (x-40) +(y—25) = 100. a) Bestem cirklens radius og koordinatsættet til cirklens centrum C. I parken er der også anlagt en sti givet ved linjen / med ligningen -2x+y+10=0. b) Bestem afstanden d mellem linjen / og cirklen (se figuren). Vejledende enkeltopgaver stx A December 2025 Side 61 af 157

Løsning med TI-Nspire

a) Af (x − 40)² + (y − 25)² = 100: centrum C(40, 25), radius r = √100 = 10 m.

b) Afstand fra C til l: −2x + y + 10 = 0:

dist(C, l) = |−2·40 + 25 + 10| / √((−2)² + 1²) = 45/√5 = 9√5

Nspire · Calculator1.1

›abs(−2·40 + 25 + 10)/sqrt(5) − 10

→9·sqrt(5) − 10 ≈ 10.125

Svar

a) r = 10 m, C(40, 25). b) d = 9√5 − 10 ≈ 10,13 m.

4.D2.20Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Skæringspunkt for to skibsruter

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

4.D2.20 y m f A 1 100 B x 100 På figuren ses to skibes sejlruter indlagt i et koordinatsystem med enheden meter på begge akser. Skib A befinder sig til begyndelsestidspunktet i punktet A(100,500) Skib B befinder sig til begyndelsestidspunktet i punktet B(2200,170). Skib As sejlrute kan beskrives ved parameterfremstillingen x 100 232 K = +s , y) (500 154 hvor s angiver antal minutter efter begyndelsestidspunktet. Skib B's sejlrute kan beskrives ved parameterfremstillingen Æ 2200 —278 m: ["|= + ; y 170 201 hvor / angiver antal minutter efter begyndelsestidspunktet. Skæringspunktet for de to sejlruter kaldes P. a) Hvilket af de to skibe når først frem til punktet P? Vejledende enkeltopgaver stx A December 2025 Side 62 af 157

Løsning med TI-Nspire

Skæringspunkt P findes ved at løse koordinatligningerne:

Nspire · Calculator1.1

›solve({100 + 232s = 2200 − 278t, 500 + 154s = 170 + 201t}, {s, t})

→s ≈ 3.693, t ≈ 4.472

Skib A bruger s ≈ 3,69 min for at nå P, mens skib B bruger t ≈ 4,47 min.

Svar

a) Skib A når først frem til P (efter ca. 3,69 min mod skib B's ca. 4,47 min).

4.D2.21Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Robotstøvsuger: position, midtercirkel og sidelinje

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

4.D2.21 s 20 10 x 10 40 En robotstøvsuger er i gang med at støvsuge gulvet i en sportshal. På figuren er halgulvet indlagt i et koordinatsystem med enheden meter på begge akser. På et bestemt tidspunkt begynder støvsugeren at bevæge sig i en ret linje mod sin dockingstation (hvor den skal oplades). Støvsugerens bane kan beskrives ved parameterfremstillingen x) (22 —0,05 F5 =| C er , 0<1<40, ») Us -0,5 hvor / angiver antal sekunder, efter at støvsugeren er begyndt at bevæge sig mod sin dockingstation. a) Bestem koordinatsættet til støvsugerens position til tidspunktet 1 =4. Midtercirklen i sportshallen kan beskrives ved ligningen (x-20Y +(y-10) =4. b) Bestem ved beregning det tidspunkt, hvor støvsugeren første gang passerer midtercirklen. På sin vej tilbage til dockingstationen passerer støvsugeren sportsbanens ene sidelinje. Denne sidelinje er på figuren sammenfaldende med x-aksen, e) Bestem koordinatsættet til det punkt, hvor støvsugeren passerer sidelinjen. Vejledende enkeltopgaver stx A December 2025 Side 63 af 157

Løsning med TI-Nspire

a) Indsæt t = 4:

Nspire · Calculator1.1

›(22 + 4·(−0.05), 15 + 4·(−0.5))

→(21.80; 13)

b) Find første t hvor banen rammer midtercirklen:

Nspire · Calculator1.1

›solve((22 − 0.05t − 20)² + (15 − 0.5t − 10)² = 4, t)

→t ≈ 7.647 eller t ≈ 12.946

Første passage: t ≈ 7,65 sek.

c) Sidelinjen er x-aksen, så y = 0:

Nspire · Calculator1.1

›solve(15 − 0.5t = 0, t)

→t = 30

Nspire · Calculator1.1

›(22 − 0.05·30, 0)

→(20.5; 0)

Svar

a) (21,80; 13). b) t ≈ 7,65 sek. c) (20,5; 0).

Kapitel 5

Analytisk rumgeometri

Vektorer i rummet, planer, kugler, krydsprodukt og afstande. D1 + D2.

Delprøve 1 — uden hjælpemidler

5.D1.1Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Længden af en rumvektor

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Længden af en rumvektor a = (x, y, z) er |a| = √(x² + y² + z²). For a = (2, 6, 3):

|a| = √(2² + 6² + 3²) = √(4 + 36 + 9) = √49 = 7

Svar

|a| = 7

5.D1.2Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Længden — bestem parameter

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

For a = (4, 7, 2k) kræves |a| = 9:

√(4² + 7² + (2k)²) = 9 ⇔ 16 + 49 + 4k² = 81 ⇔ 4k² = 16 ⇔ k² = 4

Dermed k = ±2.

Svar

k = 2 eller k = −2

5.D1.3Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Linearkombination

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Beregn 2a og (1/3)b koordinatvis og adder:

2a = (4, −14, −8), (1/3)b = (1, −3, 4)

c = 2a + (1/3)b = (4 + 1, −14 − 3, −8 + 4) = (5, −17, −4)

Svar

c = (5, −17, −4)

5.D1.4Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Skalarprodukt

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

a · b = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂ for a = (3, 1, −8) og b = (2, 7, 1):

a · b = 3·2 + 1·7 + (−8)·1 = 6 + 7 − 8 = 5

Svar

a · b = 5

5.D1.5Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Vinkelret?

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Vektorer er vinkelrette netop når skalarproduktet er 0.

a · b = 7·3 + 2·(−9) + 3·1 = 21 − 18 + 3 = 6

a · b = 6 ≠ 0, så a og b er ikke vinkelrette.

Svar

a og b står ikke vinkelret (a · b = 6).

5.D1.6Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Vinkelret — bestem t

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Krav: a · b = 0 for a = (2, −1, t) og b = (5, −6, −t):

2·5 + (−1)·(−6) + t·(−t) = 10 + 6 − t² = 16 − t² = 0

Altså t² = 16, dvs. t = ±4.

Svar

t = 4 eller t = −4

5.D1.7Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Ortogonale — bestem t

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Sæt a · b = 0 for a = (1, 1, −3) og b = (−t, t², 2):

1·(−t) + 1·t² + (−3)·2 = t² − t − 6 = 0

Faktorisering: (t − 3)(t + 2) = 0, dvs. t = 3 eller t = −2.

Svar

t = 3 eller t = −2

5.D1.8Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Parallelle vektorer

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Vektorerne er parallelle hvis a = k·b. Sammenlign 1. koordinat: 3 = k·(−9) ⇒ k = −1/3.

Tjek 3. koordinat: k·12 = −1/3·12 = −4 ✓.

Bestem t fra 2. koordinat: t = k·21 = −1/3·21 = −7.

Svar

t = −7

5.D1.9Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Parameterfremstilling for plan

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

En plan gennem P₀ udspændt af to ikke-parallelle vektorer p, q har parameterfremstilling (x, y, z) = P₀ + s·p + t·q.

α : (x, y, z) = (4, −5, 2) + s·(−3, 2, 1) + t·(1, 2, 4)

Svar

α: (x, y, z) = (4, −5, 2) + s·(−3, 2, 1) + t·(1, 2, 4)

5.D1.10Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Plan gennem tre punkter

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Brug retningsvektorerne AB og AC:

AB = B − A = (−1−3, 0−(−1), 2−5) = (−4, 1, −3)

AC = C − A = (6−3, 1−(−1), 5−5) = (3, 2, 0)

Parameterfremstilling med startpunkt A(3, −1, 5):

α : (x, y, z) = (3, −1, 5) + s·(−4, 1, −3) + t·(3, 2, 0)

Svar

(x, y, z) = (3, −1, 5) + s·(−4, 1, −3) + t·(3, 2, 0)

5.D1.11Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Punkt i plan

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

a) Indsæt s = −2, t = 3 i parameterfremstillingen:

x = 1 + (−2)·4 + 3·(−5) = 1 − 8 − 15 = −22

y = 1 + (−2)·2 + 3·1 = 1 − 4 + 3 = 0

z = 3 + (−2)·(−1) + 3·6 = 3 + 2 + 18 = 23

Altså P = (−22, 0, 23).

b) Q(8,8,6) i α? Løs systemet 1 + 4s − 5t = 8, 1 + 2s + t = 8, 3 − s + 6t = 6.

Fra ligning 2: t = 7 − 2s. Indsæt i 1: 4s − 5(7 − 2s) = 7 ⇒ 14s = 42 ⇒ s = 3, t = 1.

Tjek 3: −3 + 6·1 = 3 ✓. Q ligger i α.

Svar

a) P = (−22, 0, 23). b) Ja, Q(8, 8, 6) ligger i α (s = 3, t = 1).

5.D1.12Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Plan på normalform

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Med normalvektor n = (3, −1, −2) og punkt P(1, 4, 5):

3(x − 1) − 1(y − 4) − 2(z − 5) = 0

3x − y − 2z + (−3 + 4 + 10) = 0 ⇒ 3x − y − 2z + 11 = 0

Svar

3x − y − 2z + 11 = 0

5.D1.13Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Parallel plan

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Parallel plan har samme normalvektor n = (−4, 1, 3):

β : −4x + y + 3z + d = 0

Indsæt P(6, 1, −3): −24 + 1 − 9 + d = 0 ⇒ d = 32.

Svar

β : −4x + y + 3z + 32 = 0 (eller −4x + y + 3z = −32)

5.D1.14Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Ligger Q i planen?

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Q ligger i α netop når n · (Q − P) = 0. Beregn Q − P = (−3−7, 3−(−3), 15−4) = (−10, 6, 11):

n · (Q − P) = 1·(−10) + (−2)·6 + 2·11 = −10 − 12 + 22 = 0 ✓

Altså ligger Q i planen.

Svar

Ja, Q(−3, 3, 15) ligger i α.

5.D1.15Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Fra ligning til parameterform

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Findes et punkt på planen: sæt y = z = 0 i x + 2y − 6z − 12 = 0 ⇒ x = 12, punkt (12, 0, 0).

To vektorer i planen vinkelret på n = (1, 2, −6):

u = (2, −1, 0): n · u = 2 − 2 + 0 = 0 ✓

v = (6, 0, 1): n · v = 6 + 0 − 6 = 0 ✓

α : (x, y, z) = (12, 0, 0) + s·(2, −1, 0) + t·(6, 0, 1)

Svar

(x, y, z) = (12, 0, 0) + s·(2, −1, 0) + t·(6, 0, 1)

5.D1.16Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Skæring med z-aksen

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

z-aksen har x = 0, y = 0. Indsæt i x + 5y − 3z + 9 = 0:

−3z + 9 = 0 ⇒ z = 3

Svar

Skæringspunktet er (0, 0, 3).

5.D1.17Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Afstand punkt – plan

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Afstandsformlen: d = |ax₀ + by₀ + cz₀ − k| / √(a² + b² + c²). For α: 2x − y + 2z = 9 og P(7, 3, −2):

d = |2·7 − 3 + 2·(−2) − 9| / √(4 + 1 + 4) = |14 − 3 − 4 − 9| / 3 = |−2|/3 = 2/3

Svar

d = 2/3

5.D1.18Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Linje vinkelret på plan

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

En linje vinkelret på α har planens normalvektor som retningsvektor: r = (3, −2, 4).

l : (x, y, z) = (1, −3, 7) + t·(3, −2, 4)

Svar

l : (x, y, z) = (1, −3, 7) + t·(3, −2, 4)

5.D1.19Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Linje gennem to punkter; skæring med xz-plan

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

a) Retningsvektor AB = (6−1, 0−2, 2−(−3)) = (5, −2, 5).

l : (x, y, z) = (1, 2, −3) + t·(5, −2, 5)

b) xz-planen har y = 0: 2 − 2t = 0 ⇒ t = 1.

Punkt = (1 + 5, 0, −3 + 5) = (6, 0, 2)

Svar

a) (x, y, z) = (1, 2, −3) + t·(5, −2, 5). b) Skæringspunktet er (6, 0, 2) = B.

5.D1.20Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Skæring med xy-plan

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

xy-planen har z = 0. Af z = 5 + t = 0 fås t = −5:

x = −7 + (−5)·(−4) = −7 + 20 = 13

y = 2 + (−5)·2 = −8

Svar

Skæringspunktet er (13, −8, 0).

5.D1.21Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Vinkelrette planer

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

To planer er vinkelrette netop når deres normalvektorer er ortogonale. n_α = (−1, 1, 1), n_β = (−4, 1, −5):

n_α · n_β = (−1)·(−4) + 1·1 + 1·(−5) = 4 + 1 − 5 = 0 ✓

Altså står α og β vinkelret på hinanden.

Svar

Da n_α · n_β = 0 er planerne vinkelrette.

5.D1.22Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Parallelle planer & afstand

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

a) n_α = (6, −3, 2), n_β = (12, −6, 4) = 2·n_α. Da normalerne er proportionale, er planerne parallelle.

b) Vælg punkt på α: sæt x = y = 0 i 6x − 3y + 2z − 2 = 0 ⇒ z = 1, dvs. P = (0, 0, 1).

d = |12·0 − 6·0 + 4·1 − 44| / √(144 + 36 + 16) = |−40| / √196 = 40/14 = 20/7

Svar

a) n_β = 2·n_α ⇒ parallelle. b) d = 20/7.

5.D1.23Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Skæring linje–plan & afstand

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

a) Indsæt linjens koordinater i 3x − 6y + 2z = 10:

3(1 + 5t) − 6(1 + 2t) + 2(3 − t) = 3 + 15t − 6 − 12t + 6 − 2t = 3 + t = 10

⇒ t = 7, skæringspunkt (1 + 35, 1 + 14, 3 − 7) = (36, 15, −4).

b) Punktet P på l ved t = −1: (1 − 5, 1 − 2, 3 + 1) = (−4, −1, 4).

d = |3·(−4) − 6·(−1) + 2·4 − 10| / √(9 + 36 + 4) = |−12 + 6 + 8 − 10|/7 = 8/7

Svar

a) (36, 15, −4). b) d = 8/7.

5.D1.24Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Kuglens centrum og radius

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

En kugle på formen (x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = r² har centrum (a, b, c) og radius r. Her er r² = 169:

C = (3, −1, 0), r = √169 = 13

Svar

Centrum C(3, −1, 0), radius r = 13.

5.D1.25Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Kuglens ligning

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Radius = afstanden fra C til P:

r² = (5 − 3)² + (2 − (−1))² + (8 − 2)² = 4 + 9 + 36 = 49

(x − 3)² + (y + 1)² + (z − 2)² = 49

Svar

(x − 3)² + (y + 1)² + (z − 2)² = 49

5.D1.26Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Kvadratkomplettering

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Saml led og kvadratkompleter:

(x² − 2x) + (y² + 6y) + (z² − 4z) = 86

(x − 1)² − 1 + (y + 3)² − 9 + (z − 2)² − 4 = 86

(x − 1)² + (y + 3)² + (z − 2)² = 100

Centrum C(1, −3, 2), radius r = √100 = 10.

Svar

Centrum C(1, −3, 2), radius r = 10.

5.D1.27Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Tangentplan i et punkt

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Tangentplanens normalvektor er CP = P − C = (7−1, 3−2, 5−(−4)) = (6, 1, 9).

6(x − 7) + 1(y − 3) + 9(z − 5) = 0

6x + y + 9z − (42 + 3 + 45) = 0 ⇒ 6x + y + 9z − 90 = 0

Svar

6x + y + 9z − 90 = 0

5.D1.28Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Er α tangentplan?

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Kuglen har C(2, −1, 5), r = 5. Beregn afstanden fra C til α: 4x + 3z − 48 = 0:

d = |4·2 + 3·5 − 48| / √(16 + 9) = |8 + 15 − 48|/5 = 25/5 = 5

Da d = r = 5 er α en tangentplan til kuglen.

Svar

Ja, α er en tangentplan (d = r = 5).

5.D1.29Delprøve 1 · uden hjælpemidler· xy-planen som tangentplan

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

xy-planen er z = 0. Afstanden fra C(5, 1, −3) til denne plan er |−3| = 3, så r = 3.

(x − 5)² + (y − 1)² + (z + 3)² = 9

Svar

(x − 5)² + (y − 1)² + (z + 3)² = 9

5.D1.30Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Tangentplan giver radius

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Radius = afstanden fra C(−7, 5, 5) til α: 8x − 4y + z − 10 = 0:

r = |8·(−7) − 4·5 + 5 − 10| / √(64 + 16 + 1) = |−56 − 20 + 5 − 10|/√81 = 81/9 = 9

(x + 7)² + (y − 5)² + (z − 5)² = 81

Svar

(x + 7)² + (y − 5)² + (z − 5)² = 81

Delprøve 2 — med TI-Nspire

5.D2.1Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Trekant i rummet: vinkel og areal

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

5.D2.1 I et koordinatsystem i rummet er givet punkterne A(-12,5,11), 8(6,7,-4) og C3,-9,2). Punkterne er hjørner i en trekant ABC. a) Bestem ZC i trekant ABC. b) Bestem ved beregning arealet af trekant ABC.

Løsning med TI-Nspire

a) Sæt CA = A − C = (−15, 14, 9) og CB = B − C = (3, 16, −6):

Nspire · Calculator1.1

›angle([−15, 14, 9], [3, 16, −6])

→≈ 71.24°

Eller direkte: cos C = (CA · CB)/(|CA||CB|) = 125/(√502·√301) ≈ 0,3217.

b) Areal via krydsprodukt: T = (1/2)|CA × CB|.

Nspire · Calculator1.1

›0.5·norm(crossP([−15, 14, 9], [3, 16, −6]))

→≈ 184.04

Svar

a) ∠C ≈ 71,24°. b) T ≈ 184,04.

5.D2.2Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Vektorer udspænder kvadrat

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

5.D2.2 To vektorer å og B er givet ved 4 -1 å=|[4|ogb=| 1 |. 0 30 a) Gør rede for, at & og b udspænder et kvadrat.

Løsning med TI-Nspire

Et kvadrat udspændes af to vektorer der er lige lange og vinkelrette.

Nspire · Calculator1.1

›norm([4, 4, 0])

→4·sqrt(2) ≈ 5.657

Nspire · Calculator1.1

›norm([−1, 1, sqrt(30)])

→4·sqrt(2) ≈ 5.657

Nspire · Calculator1.1

›dotP([4, 4, 0], [−1, 1, sqrt(30)])

→0

Da |a| = |b| = 4√2 og a · b = 0 udspænder de et kvadrat.

Svar

|a| = |b| = 4√2 og a · b = 0 ⇒ kvadrat.

5.D2.3Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Skæring og vinkel mellem linje og plan

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

5.D2.3 — Enplan a har ligningen a: Sx-y+2z-5=0, og en linje / har parameterfremstillingen f3 2 1 : |yl=|-4|+1] 61 z 3 = a) Bestem ved beregning koordinatsættet til skæringspunktet mellem / og & . b) Bestem gradtallet for den spidse vinkel mellem / og & .

Løsning med TI-Nspire

a) Indsæt parameterfremstillingen i 5x − y + 2z − 5 = 0:

Nspire · Calculator1.1

›solve(5(2+t) − (−4+6t) + 2(3−t) − 5 = 0, t)

→t = 5

Skæringspunkt: (2 + 5, −4 + 30, 3 − 5) = (7, 26, −2).

b) Vinklen mellem linje og plan: sin v = |n · r|/(|n||r|) med n = (5, −1, 2), r = (1, 6, −1).

Nspire · Calculator1.1

›arcsin(abs(dotP([5, −1, 2], [1, 6, −1]))/(norm([5, −1, 2])·norm([1, 6, −1])))

→≈ 5.10°

Svar

a) (7, 26, −2). b) v ≈ 5,10°.

5.D2.4Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Fire punkter i samme plan?

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

5.D2.4…— 1 etkoordinatsystem i rummet er givet de fire punkter PU2,-1, 0G,-1,1), RQ2,0,-3) og S(2,-2,-15). a) Undersøg, om de fire punkter ligger i samme plan.

Løsning med TI-Nspire

Fire punkter ligger i samme plan netop når det[PQ, PR, PS] = 0. Vi har PQ = (2, −3, 2), PR = (1, −2, −2), PS = (1, −4, −14).

Nspire · Calculator1.1

›det([[2, −3, 2], [1, −2, −2], [1, −4, −14]])

→0

Determinanten er 0, så de fire punkter ligger i samme plan.

Svar

Ja, P, Q, R, S ligger i samme plan (det = 0).

5.D2.5Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Fra parameterform til ligning

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

5.D2.5 — Enplan a er givet ved parameterfremstillingen x 2 1 3 a: [y|=|-1|+ejol+s| 1. z) (3 a) ls a) Bestem en ligning for &. Vejledende enkeltopgaver stx A December 2025 Side 70 af 157

Løsning med TI-Nspire

Normalvektor = krydsprodukt af de to retningsvektorer u = (1, 0, 4) og v = (3, 1, −1):

Nspire · Calculator1.1

›crossP([1, 0, 4], [3, 1, −1])

→[−4, 13, 1]

Plan gennem (2, −1, 3) med normalvektor n = (−4, 13, 1):

−4(x − 2) + 13(y + 1) + 1(z − 3) = 0 ⇒ −4x + 13y + z + 18 = 0

Svar

α : −4x + 13y + z + 18 = 0

5.D2.6Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Skæring, vinkel og parallelplan

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

5.D2.6 — Enplan c er givet ved ligningen a: 2x+5y-3z+2=0, og en linje / er givet ved parameterfremstillingen HE : |yl=| 4 [+rd 4. z) (o 2 a) Bestem ved beregning koordinatsættet til skæringspunktet mellem / og & . b) Bestem den spidse vinkel mellem / og & . c) Bestem en ligning for den plan , der indeholder / og punktet O(0,0,0) .

Løsning med TI-Nspire

a) Indsæt linjen i 2x + 5y − 3z + 2 = 0:

Nspire · Calculator1.1

›solve(2(−1+3t) + 5(4+4t) − 3(0−2t) + 2 = 0, t)

→t = −5/8

Skæringspunkt: (−23/8, 3/2, 5/4) ≈ (−2,875; 1,5; 1,25).

b) n = (2, 5, −3), r = (3, 4, −2):

Nspire · Calculator1.1

›arcsin(abs(dotP([2, 5, −3], [3, 4, −2]))/(norm([2, 5, −3])·norm([3, 4, −2])))

→≈ 74.62°

c) β skal indeholde l og O(0,0,0). Brug retningsvektoren r = (3, 4, −2) og (−1, 4, 0) − O = (−1, 4, 0) som udspændere; normalvektor er deres krydsprodukt:

Nspire · Calculator1.1

›crossP([3, 4, −2], [−1, 4, 0])

→[8, 2, 16] = 2·[4, 1, 8]

Plan gennem O: β : 4x + y + 8z = 0.

Svar

a) (−2,875; 1,5; 1,25). b) v ≈ 74,62°. c) β : 4x + y + 8z = 0.

5.D2.7Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Plan gennem tre punkter & afstand

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

5.D2.7 I et koordinatsystem i rummet er der givet tre punkter A(9,-3,2), B(-8,2,0) og C(1,5,7) . a) Bestem en ligning for den plan & , der indeholder punkterne 4, B og C. Et punkt P har koordinatsættet P(-3,—6,8). b) Bestem ved brug af en formel afstanden fra punktet P til planen& .

Løsning med TI-Nspire

a) AB = (−17, 5, −2), AC = (−8, 8, 5):

Nspire · Calculator1.1

›crossP([−17, 5, −2], [−8, 8, 5])

→[41, 101, −96]

Plan gennem A(9, −3, 2): 41(x − 9) + 101(y + 3) − 96(z − 2) = 0, dvs.

α : 41x + 101y − 96z + 126 = 0

b) Afstand fra P(−3, −6, 8) til α:

Nspire · Calculator1.1

›abs(41·(−3) + 101·(−6) − 96·8 + 126)/sqrt(41² + 101² + 96²)

→≈ 9.44

Svar

a) α : 41x + 101y − 96z + 126 = 0. b) d ≈ 9,44.

5.D2.8Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Skæring og vinkel mellem planer

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

5.D2.8 En plan e har ligningen a: -4x+2-5-0. En linje / har parameterfremstillingen HE H |y|=|3|+e|2]. z —I 6 a) Bestem ved beregning koordinatsættet til det punkt P, hvor / skærer &. En plan / har ligningen P: x-y+32+6=0. b) Bestem den spidse vinkel mellem & og . Vejledende enkeltopgaver stx A December 2025 Side 71 af 157

Løsning med TI-Nspire

a) Indsæt l i −4x + z − 5 = 0:

Nspire · Calculator1.1

›solve(−4(8+t) + (−1+6t) − 5 = 0, t)

→t = 19

Punkt: P = (27, −35, 113).

b) Vinkel mellem planer: cos v = |n_α · n_β|/(|n_α||n_β|) med n_α = (−4, 0, 1), n_β = (1, −1, 3):

Nspire · Calculator1.1

›arccos(abs(dotP([−4, 0, 1], [1, −1, 3]))/(norm([−4, 0, 1])·norm([1, −1, 3])))

→≈ 85.81°

Svar

a) P(27, −35, 113). b) v ≈ 85,81°.

5.D2.9Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Pyramide: linje, plan, vinkel mellem sideflader

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

5.D2.9 z 00,0,0) A4,5,0) 5 B(0,7,0) //// / C(3,8,5) e / B> x A Figuren viser en skæv pyramide OABC i et koordinatsystem i rummet. a) Bestem en parameterfremstilling for den linje, der går gennem punkterne A og C. b) Bestem en ligning for den plan, der indeholder punkterne O, A og C e) Bestem ved beregning den vinkel, som sidefladen OAC danner med grundfladen OAB.

Løsning med TI-Nspire

a) Retningsvektor AC = C − A = (−1, 3, 5):

l : (x, y, z) = (4, 5, 0) + t·(−1, 3, 5)

b) Plan OAC med normalvektor n = OA × OC:

Nspire · Calculator1.1

›crossP([4, 5, 0], [3, 8, 5])

→[25, −20, 17]

Plan gennem O: 25x − 20y + 17z = 0.

c) Grundfladen OAB ligger i xy-planen, n_OAB = (0, 0, 1):

Nspire · Calculator1.1

›arccos(abs(17)/norm([25, −20, 17]))

→≈ 62.04°

Svar

a) (x,y,z) = (4,5,0) + t·(−1,3,5). b) 25x − 20y + 17z = 0. c) v ≈ 62,04°.

5.D2.10Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Spejdertelt: plan, vinkel og areal

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

5.D2.10 z 00,0,0) 5 A200,0,0) tej B(100,75,150) C(100,225,150) = D(200,300,0) A " E(0,300,0) x D Figuren viser en model af et spejdertelt indtegnet i et koordinatsystem med enheden cm på alle akser. Koordinatsættene for hjørnepunkterne er angivet på figuren. a) Bestem en ligning for den plan, der indeholder punkterne 4, B, C og D. b) Bestem den vinkel, som fladerne ABCD og CDE danner med hinanden. c) Bestem ved beregning arealet af sidefladen CDE på teltet. Vejledende enkeltopgaver stx A December 2025 Side 72 af 157

Løsning med TI-Nspire

a) Brug AB = (−100, 75, 150) og AD = (0, 300, 0):

Nspire · Calculator1.1

›crossP([−100, 75, 150], [0, 300, 0])

→[−45000, 0, −30000] ∝ (3, 0, 2)

Plan gennem A(200, 0, 0): 3(x − 200) + 2z = 0, dvs. 3x + 2z = 600. (Tjek af C: 3·100 + 2·150 = 600 ✓.)

b) Plan CDE: CD = (100, 75, −150), DE = (−200, 0, 0):

Nspire · Calculator1.1

›crossP([100, 75, −150], [−200, 0, 0])

→[0, 30000, 15000] ∝ (0, 2, 1)

Nspire · Calculator1.1

›arccos(abs(dotP([3, 0, 2], [0, 2, 1]))/(norm([3, 0, 2])·norm([0, 2, 1])))

→≈ 75.64°

c) Areal CDE = (1/2)|CD × DE|:

Nspire · Calculator1.1

›0.5·norm([0, 30000, 15000])

→≈ 16770.5 cm² ≈ 1.68 m²

Svar

a) 3x + 2z = 600. b) v ≈ 75,64°. c) Areal CDE ≈ 16 770,5 cm² (≈ 1,68 m²).

5.D2.11Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Opbevaringskasse: areal og vinkel

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

5.D2.11 z 00,0,0) A(40,-25,60) B(0.0,75) y C(0,150,75) D(40,175,60) v Æ(0,150,0) Figuren viser en model af en åben opbevaringskasse, der hænger på en mur. Modellen er indlagt i et koordinatsystem med enheden cm på alle akser. Frontfladen OADE ligger i en plan &, og bagsiden OBCE ligger i en plan f. a) Bestem arealet af frontfladen OADE. b) Bestem ved beregning den spidse vinkel mellem frontfladen OADE og bagsiden OBCE.

Løsning med TI-Nspire

a) Firkanten OADE deles i trekanterne △OAD og △ODE (alle fire punkter ligger i samme plan med normalen (3, 0, −2)):

Nspire · Calculator1.1

›0.5·norm(crossP([40, −25, 60], [40, 175, 60]))

→2000·sqrt(13) ≈ 7211.1

Nspire · Calculator1.1

›0.5·norm(crossP([40, 175, 60], [0, 150, 0]))

→1500·sqrt(13) ≈ 5408.3

Samlet areal: 3500·√13 ≈ 12 619,4 cm² ≈ 1,26 m².

b) Bagsiden OBCE ligger i yz-planen (alle har x = 0), så n_β = (1, 0, 0). Frontens normal er n_α = (3, 0, −2):

Nspire · Calculator1.1

›arccos(abs(3)/norm([3, 0, −2]))

→≈ 33.69°

Svar

a) Areal OADE ≈ 12 619 cm² (≈ 1,26 m²). b) v ≈ 33,69°.

5.D2.12Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Kugleligning & tangentplan

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

8.D2.12— En kugle har centrum i C(7,-3,8) og radius 6 a) Bestem en ligning for kuglen. Punktet P(5,1,12) ligger på kuglen. b) Bestem en ligning for tangentplanen & til kuglen i punktet P.

Løsning med TI-Nspire

a) Standard formen (x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = r²:

(x − 7)² + (y + 3)² + (z − 8)² = 36

b) Tangentplanens normalvektor er CP = P − C = (−2, 4, 4):

−2(x − 5) + 4(y − 1) + 4(z − 12) = 0 ⇒ x − 2y − 2z + 21 = 0

Svar

a) (x − 7)² + (y + 3)² + (z − 8)² = 36. b) α : x − 2y − 2z + 21 = 0.

5.D2.13Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Kugle skærer y-aksen

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

8.D2.13— En kugle er givet ved ligningen (x-4) +(y—3) +(2—2) =36. a) Bestem ved beregning koordinatsættet til hvert af skæringspunkterne mellem kuglen og )-aksen.

Løsning med TI-Nspire

y-aksen har x = 0 og z = 0. Indsæt i kuglens ligning:

Nspire · Calculator1.1

›solve((0−4)² + (y−3)² + (0−2)² = 36, y)

→y = 7 eller y = −1

Skæringspunkterne er (0, 7, 0) og (0, −1, 0).

Svar

(0, 7, 0) og (0, −1, 0)

5.D2.14Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Linje skærer kugle

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

8.D2.14…— En kugle er givet ved ligningen (x-1'+(p+2) +(2—4) =49, og en linje / er givet ved parameterfremstillingen x) (3 1 H |y|=| 1 |ar[ 0. z) (16 -1 a) Bestem ved beregning koordinatsættet til hvert af skæringspunkterne mellem linjen / og kuglen. Vejledende enkeltopgaver stx A December 2025 Side 73 af 157

Løsning med TI-Nspire

Indsæt x = −3 + t, y = 1, z = 16 − t i kuglens ligning:

Nspire · Calculator1.1

›solve((−3+t−1)² + (1+2)² + (16−t−4)² = 49, t)

→t = 6 eller t = 10

For t = 6: (3, 1, 10). For t = 10: (7, 1, 6).

Svar

(3, 1, 10) og (7, 1, 6)

Kapitel 6

Funktioner & differentialregning

Funktionstyper, regression, tangenter, monotoni, ekstrema og optimering. D1 + D2.

Delprøve 1 — uden hjælpemidler

6.D1.1Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Skæring mellem to lineære grafer

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Sæt f(x) = g(x):

2x − 1 = −½ x + 4

Gang med 2 og saml: 4x − 2 = −x + 8 ⇒ 5x = 10 ⇒ x = 2.

Indsæt i f: f(2) = 2·2 − 1 = 3.

Svar

Skæringspunkt: (2, 3).

6.D1.2Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Punkt på graf · skæring med x-aksen

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

a) f(5) = 3·5 − 6 = 9. Da y-koordinaten i P er 9, ligger P på grafen.

b) Skæring med x-aksen: 3x − 6 = 0 ⇒ x = 2.

Svar

a) Ja, P(5, 9) ligger på grafen. b) (2, 0).

6.D1.3Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Eksponentiel udvikling gennem to punkter

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Indsæt P og Q:

b · a⁴ = 2 og b · a⁷ = 16

Divider den anden med den første:

a³ = 16/2 = 8 ⇒ a = 2

Indsæt a = 2: b · 16 = 2 ⇒ b = 1/8.

Svar

a = 2, b = 1/8 (dvs. f(x) = (1/8)·2^x).

6.D1.4Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Identifikation af eksponentiel graf

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

f(x) = 10·0,75^x har f(0) = 10 og er aftagende, fordi 0 < 0,75 < 1.

B er en ret linje — kan ikke være en eksponentiel funktion.
A er voksende — udelukket, da f er aftagende.
C starter højt på y-aksen og er aftagende — passer med f.

Svar

C er grafen for f. A er voksende og B er en ret linje, så de kan ikke svare til 10·0,75^x.

6.D1.5Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Aflæsning af fordoblingskonstant

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

⚠️ Bilag ikke aflæst præcist

Tallene f(0) ≈ 2 og x ≈ 4 er eksempler — jeg har ikke aflæst bilaget præcist. Aflæs selv begyndelsesværdien f(0) og find dernæst det x, hvor f(x) er dobbelt så stort. Differencen er fordoblingskonstanten T₂.

Metode: find på grafen et x hvor y er aflæselig, fx f(0). Find dernæst det x, hvor f(x) = 2·f(0).

Fordoblingskonstanten er afstanden mellem disse to x-værdier — den er konstant for en eksponentiel funktion.

Svar

T₂ aflæses på bilaget (afstand i x-retningen, hvor y fordobles).

6.D1.6Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Halveringskonstant — sammenligning

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

For en aftagende eksponentiel funktion er halveringskonstanten T_½ = ln(½) / ln(a). Jo langsommere funktionen aftager, jo større er T_½.

På figuren aftager f tydeligt langsommere end g (g styrtdykker hurtigere mod x-aksen).

Svar

f har den største halveringskonstant.

6.D1.7Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Eksponentiel model — opstilling

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Lad V(x) være aktiens værdi (i kr.) x år efter 2020. En årlig stigning på 16 % giver fremskrivningsfaktor 1,16:

V(x) = 320 · 1,16^x

Svar

V(x) = 320 · 1,16^x, hvor x er antal år efter 2020 og V måles i kr.

6.D1.8Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Fortolkning af koefficienter i eksp.-funktion

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

22: begyndelsesværdien f(0) = 22 — sodavandens temperatur er 22 °C i det øjeblik den stilles udenfor.

0,983: fremskrivningsfaktoren pr. minut. Da 0,983 = 1 − 0,017, falder temperaturen med ca. 1,7 % pr. minut.

Svar

22 = starttemperaturen i °C; 0,983 = den faktor temperaturen ganges med pr. minut (et fald på ca. 1,7 % pr. minut).

6.D1.9Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Funktionsværdier og sammensætning

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

f(2) = 2·2² − 3·2 + 1 = 8 − 6 + 1 = 3.

g(f(2)) = g(3) = ln(3 − 2) = ln(1) = 0.

Svar

f(2) = 3 og g(f(2)) = 0.

6.D1.10Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Sammensat funktion — aflæsning

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

⚠️ Bilag ikke aflæst præcist

Værdierne g(3) og f(5) kunne jeg ikke aflæse præcist fra crop'et. Brug fremgangsmåden nedenfor på det officielle bilag.

1) Aflæs på bilaget: ved x = 3 findes g(3) som y-koordinaten af grafen for g.

2) Indsæt resultatet som x-værdi i f, og aflæs f(g(3)) på grafen for f.

Svar

g(3) og f(g(3)) aflæses på bilaget.

6.D1.11Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Sammensætning af funktioner

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

g(2) = 2 + 1 = 3.

f(g(2)) = f(3) = 3² + 4 = 13.

Svar

g(2) = 3 og f(g(2)) = 13.

6.D1.12Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Sammensat funktion · aflæsning på graf

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

f(1) = −1 + 4 = 3 (regnes direkte fra forskriften).

⚠️ Bilag ikke aflæst præcist

Værdien g(3) aflæses på grafen for g. Jeg har ikke kunnet bekræfte tallet præcist fra crop'et — på bilaget kan eleven se det rigtige tal.

Aflæs g(3) på grafen, og indsæt: g(f(1)) = g(3) = den aflæste værdi.

Svar

f(1) = 3; g(f(1)) = g(3) aflæses på bilaget.

6.D1.13Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Gaffelforskrift fra graf

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Grafen knækker i (0, −1). Venstre del er en ret linje gennem (−3, −4) og (0, −1) — hældning 1.

Højre del er en ret linje gennem (0, −1) og (4, 1) — hældning ½.

f(x) = { x − 1 for x ≤ 0; ½x − 1 for x > 0 }

Svar

f(x) = x − 1 for x ≤ 0 og f(x) = ½x − 1 for x > 0.

6.D1.14Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Tegn stykkevis defineret graf

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

For −4 ≤ x < 2: linjen y = −½x − 1. Endepunkter: (−4, 1) lukket og (2, −2) åben.

For 2 ≤ x < 5: linjen y = 2x − 6. Endepunkter: (2, −2) lukket og (5, 4) åben.

Tegn de to liniestykker på bilaget med fyldte/åbne cirkler i endepunkterne.

Svar

To liniestykker: (−4, 1) → (2, −2) (åben) og (2, −2) → (5, 4) (åben).

6.D1.15Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Toppunkt for parabel

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

For f(x) = ax² + bx + c er toppunktets x-koordinat x = −b/(2a).

x = −4/(2·2) = −1

Svar

Toppunktets x-koordinat er x = −1.

6.D1.16Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Skæring med x-aksen · toppunkt

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

a) Faktoriser: 2x² + 6x − 8 = 2(x² + 3x − 4) = 2(x + 4)(x − 1). Rødder: x = −4 og x = 1.

b) Toppunkt: x = −6/(2·2) = −3/2. f(−3/2) = 2·(9/4) − 9 − 8 = −25/2.

Svar

a) (−4, 0) og (1, 0). b) Toppunkt: (−3/2, −25/2).

6.D1.17Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Diskriminant · netop én rod

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

a) D = 4² − 4·2·(−6) = 16 + 48 = 64 > 0, så f har to forskellige reelle rødder ⇒ grafen skærer x-aksen to gange.

b) Netop ét fælles punkt med x-aksen kræver D = 0:

16 − 8c = 0 ⇒ c = 2

Svar

a) D = 64 > 0 ⇒ to skæringer. b) c = 2.

6.D1.18Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Bestem b og c ud fra toppunkt

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Toppunkt: x = −b/(2a) = −b/4 = −2 ⇒ b = 8.

Indsæt T(−2, 1): f(−2) = 8 − 16 + c = 1 ⇒ c = 9.

Svar

b = 8 og c = 9.

6.D1.19Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Tangent i punkt på parabel

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

a) f(4) = 16 − 12 + 2 = 6 ≠ 7, så P(4, 7) ligger ikke på grafen.

b) f′(x) = 2x − 3, så f′(4) = 5. Tangentligning:

y − 6 = 5(x − 4) ⇒ y = 5x − 14

Svar

a) f(4) = 6 ≠ 7. b) Tangent: y = 5x − 14.

6.D1.20Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Værditabel · tangentligning

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

a) Beregn f(x) = x² − 2x + 7 i de manglende værdier:

f(−1) = 1 + 2 + 7 = 10
f(0) = 7
f(2) = 4 − 4 + 7 = 7

Tabel: (−2, 15), (−1, 10), (0, 7), (1, 6), (2, 7), (3, 10). Tegn parabel med toppunkt (1, 6).

b) f′(x) = 2x − 2, f′(3) = 4, f(3) = 10. Tangent:

y − 10 = 4(x − 3) ⇒ y = 4x − 2

Svar

a) f(−1)=10, f(0)=7, f(2)=7. b) Tangent: y = 4x − 2.

6.D1.21Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Nulpunkter · f′(x)=0

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

a) x² − 6x + 5 = 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) = 0, så x = 1 eller x = 5.

b) f′(x) = 2x − 6 = 0 ⇒ x = 3. Det betyder, at grafen for f har en vandret tangent i x = 3 — altså at parablens toppunkt ligger ved x = 3.

Svar

a) Nulpunkter: x = 1 og x = 5. b) x = 3 (parablens toppunkt/symmetriakse).

6.D1.22Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Identifikation af parabel ud fra a og b

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

a > 0 ⇒ parablen vender opad. A vender nedad, så A udelukkes.

b = 0 ⇒ toppunktet ligger på y-aksen (x = −b/(2a) = 0). B's toppunkt ligger til højre for y-aksen, mens C's toppunkt ligger på y-aksen.

Svar

C er grafen for f.

6.D1.23Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Sand/falsk-udsagn om parabel

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

⚠️ Bilag ikke aflæst præcist

Påstand 1 vurderes ved at aflæse grafens skæring med y-aksen. Jeg har ikke kunnet bekræfte den præcise værdi fra crop'et — eleven skal selv aflæse f(0) på bilaget.

1) f(0) aflæses som grafens skæring med y-aksen. Hvis aflæsningen ikke giver 7, er påstanden falsk.

2) f har to rødder ⇔ grafen skærer x-aksen i to punkter — aflæs på bilaget.

3) f′(0) er hældningen af tangenten i x = 0. Hvis grafen er aftagende ved x = 0, er f′(0) < 0; hvis voksende, er f′(0) > 0.

Svar

Hver påstand vurderes ved aflæsning på bilaget (skæring med akserne, hældningens fortegn).

6.D1.24Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Identifikation af parabel

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

For f(x) = x² − 6x + 8: toppunkt i x = 3, f(3) = 9 − 18 + 8 = −1, og rødder ved (x − 2)(x − 4) = 0 ⇒ x = 2, 4.

f's minimum ligger altså lige under x-aksen (y = −1), og grafen skærer x-aksen to gange. Det passer med C, der dykker længst ned.

Svar

C er grafen for f (toppunkt (3, −1), rødder x = 2 og x = 4).

6.D1.25Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Skitse af parabel ud fra fortegn på a, b, c

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Krav til skitsen:

a < 0 ⇒ parablen vender nedad.
c > 0 ⇒ f(0) = c > 0, så grafen skærer y-aksen over x-aksen.
Grafen går gennem P(−2, 7).

Eksempel: en nedadvendt parabel med toppunkt over x-aksen (fx i (0, 8)), der passerer gennem (−2, 7) og ved symmetri også (2, 7).

Svar

Nedadvendt parabel, positiv y-akseskæring, gennem P(−2, 7) — flere skitser mulige.

6.D1.26Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Skæring mellem parabel og vandret linje

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Sæt f(x) = 2:

x² − 8x + 17 = 2 ⇒ x² − 8x + 15 = 0

Faktoriser: (x − 3)(x − 5) = 0 ⇒ x = 3 eller x = 5.

Svar

Skæringspunkter: (3, 2) og (5, 2).

6.D1.27Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Samme toppunkt — bestem k

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Toppunkt for f: x = 8/(2·2) = 2, f(2) = 8 − 16 + 11 = 3 ⇒ T_f = (2, 3).

Toppunkt for g: x = −4/(2·(−1)) = 2, g(2) = −4 + 8 + k = 4 + k.

Sæt y-koordinaterne lige: 4 + k = 3 ⇒ k = −1.

Svar

k = −1.

6.D1.28Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Skæring mellem parabel og linje

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Sæt f(x) = x + 1:

−x² + 6x − 3 = x + 1 ⇒ x² − 5x + 4 = 0

Faktoriser: (x − 1)(x − 4) = 0 ⇒ x = 1 eller x = 4.

Svar

x-koordinaterne er x = 1 og x = 4.

6.D1.29Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Ingen fælles punkter — diskriminant

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Sæt f(x) = 3x + 2:

−x² + 4x + 1 = 3x + 2 ⇒ x² − x + 1 = 0

Diskriminant: D = (−1)² − 4·1·1 = −3 < 0. Ligningen har derfor ingen reelle løsninger.

Svar

D = −3 < 0 ⇒ grafen for f og linjen l har ingen fælles punkter.

6.D1.30Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Bestem a, b og c ud fra toppunkt og tangent

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Tangent i P(0, 6): y = 8x + 6. Da tangenten rører grafen i P, gælder f(0) = 6 og f′(0) = 8.

f(0) = c = 6. f′(x) = 2ax + b, så f′(0) = b = 8.

Toppunkt: x = −b/(2a) = 2 ⇒ −8/(2a) = 2 ⇒ a = −2.

Kontrol: f(2) = −2·4 + 8·2 + 6 = −8 + 16 + 6 = 14 ✓.

Svar

a = −2, b = 8, c = 6.

6.D1.31Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Forskrift ud fra rødder og punkt

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Da rødderne er x = 2 og x = 4, har f formen f(x) = a(x − 2)(x − 4).

Indsæt P(0, 16): a · (−2)·(−4) = 8a = 16 ⇒ a = 2.

f(x) = 2(x − 2)(x − 4) = 2x² − 12x + 16

Svar

f(x) = 2x² − 12x + 16.

6.D1.32Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Bestem c ud fra toppunktets y-koordinat

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Toppunkt: x = 8/(2·2) = 2. f(2) = 8 − 16 + c = c − 8.

Sæt y-koordinaten lig 2: c − 8 = 2 ⇒ c = 10.

Svar

c = 10.

6.D1.33Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Differentiation · e^x + x³

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Led-for-led: (e^x)′ = e^x og (x³)′ = 3x².

f′(x) = e^x + 3x²

Svar

f′(x) = e^x + 3x².

6.D1.34Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Differentiation · polynomium

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

(x⁴)′ = 4x³, (−2x³)′ = −6x², (1)′ = 0.

f′(x) = 4x³ − 6x²

Svar

f′(x) = 4x³ − 6x².

6.D1.35Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Differentiation · 1/x

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Skriv om: f(x) = 3x + x⁻¹.

(3x)′ = 3 og (x⁻¹)′ = −x⁻².

f′(x) = 3 − 1/x²

Svar

f′(x) = 3 − 1/x².

6.D1.36Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Hældning i et punkt

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

f′(x) = 2x − 3, så f′(2) = 4 − 3 = 1.

Svar

f′(2) = 1.

6.D1.37Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Tangentligning ud fra f(a) og f′(a)

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Tangenten i P(2, f(2)) = P(2, 5) har hældning f′(2) = 3:

Svar

Tangent: y − 5 = 3(x − 2) ⇔ y = 3x − 1.

6.D1.38Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Væksthastighed · tangent på graf

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

⚠️ Bilag ikke aflæst præcist

De konkrete tal (20 ved x=20, 50 ved x=40, hældning 1,5) er et eksempel — jeg har ikke kunnet aflæse bilaget præcist. Eleven aflæser selv to nærliggende punkter på tangenten ved x=30.

Væksthastigheden ved x = 30 er hældningen af tangenten til grafen i det punkt.

Tegn tangenten i (30, f(30)), vælg to gitterpunkter på tangenten og udregn:

væksthastighed = Δy / Δx = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) individer pr. måned

Svar

Hældningen af tangenten i x = 30 aflæses på bilaget — værdien angiver antal nye individer pr. måned omkring den 30. måned.

6.D1.39Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Tangent · logaritmisk led

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

f(1) = 4·ln(1) − 2 + 3 = 1.

f′(x) = 4/x − 2, så f′(1) = 2.

y − 1 = 2(x − 1) ⇒ y = 2x − 1

Svar

Tangent: y = 2x − 1.

6.D1.40Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Er en linje tangent?

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

f′(x) = 6x + 2. Sæt hældningen lig linjens: 6x + 2 = −4 ⇒ x = −1.

f(−1) = 3 − 2 − 5 = −4. Tangent i (−1, −4):

y = −4(x + 1) − 4 = −4x − 8

Linjen l har ligning y = −4x + 13 — samme hældning, men forskelligt skæringspunkt med y-aksen.

Svar

Nej, l er ikke tangent til grafen for f (l er parallel med tangenten i (−1, −4), men ligger en anden plads).

6.D1.41Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Newtons metode — geometrisk konstruktion

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Newton-iterationen er x₂ = x₁ − f(x₁)/f′(x₁). Geometrisk: tegn tangenten til grafen i punktet (x₁, f(x₁)) — skæringen med x-aksen er x₂.

Aflæs f(1) på bilaget og tegn tangenten i (1, f(1)); den nye værdi x₂ er, hvor tangenten skærer x-aksen.

Svar

Tegn tangenten til grafen for f i (1, f(1)). Skæringen med x-aksen er x₂.

6.D1.42Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Newtons metode — geometrisk konstruktion

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Tegn tangenten til grafen for f i punktet (−1, f(−1)). Punktet hvor tangenten skærer x-aksen, er x₂.

Svar

Tegn tangenten i (−1, f(−1)); skæringspunktet med x-aksen er x₂.

6.D1.43Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Newtons metode · beregning

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

f′(x) = 3x² − 2. f(2) = 4, f′(2) = 10.

x₂ = 2 − 4/10 = 1,6

Svar

x₂ = 1,6.

6.D1.44Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Differentiation · produktregel

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Produktregel på x³ · ln(x):

f′(x) = 3x²·ln(x) + x³·(1/x) = 3x²·ln(x) + x²

Svar

f′(x) = x²(3·ln(x) + 1).

6.D1.45Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Differentiation · produktregel + potens

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Skriv √x = x^1/2. Produktregel på e^x·√x:

(e^x·√x)′ = e^x·√x + e^x/(2√x)

Plus (x²)′ = 2x:

f′(x) = e^x(√x + 1/(2√x)) + 2x

Svar

f′(x) = e^x·√x + e^x/(2√x) + 2x.

6.D1.46Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Produktregel i et punkt

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

f′(x) = e^x + x·e^x = e^x(1 + x).

f′(0) = 1·(1 + 0) = 1.

Svar

f′(0) = 1.

6.D1.47Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Sammensat funktion · kæderegel

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Ydre u⁵, indre u = 2x + 4:

f′(x) = 5(2x + 4)⁴·2 = 10(2x + 4)⁴

Svar

f′(x) = 10(2x + 4)⁴.

6.D1.48Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Sammensat funktion · kæderegel

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

f′(x) = 4(x² + 3x − 1)³·(2x + 3)

Svar

f′(x) = 4(2x + 3)(x² + 3x − 1)³.

6.D1.49Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Differentialkvotient · ln(u(x))

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Kæderegel: f′(x) = 2x/(x² − 3).

f′(2) = 4/(4 − 3) = 4.

Svar

f′(2) = 4.

6.D1.50Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Monotoniforhold ud fra graf for f′

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Aflæs nulpunkter for f′ på bilaget: ca. x = −1, x = 1 og x = 3. Aflæs fortegn for f′ i hvert delinterval:

[−3; −1]: f′ < 0 ⇒ f er aftagende.
[−1; 1]: f′ > 0 ⇒ f er voksende.
[1; 3]: f′ < 0 ⇒ f er aftagende.
[3; 4]: f′ > 0 ⇒ f er voksende.

Svar

f er aftagende på [−3; −1] og [1; 3], voksende på [−1; 1] og [3; 4]. Lokalt min ved x = −1 og x = 3; lokalt max ved x = 1.

6.D1.51Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Vis monotoni · f′ > 0

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

f′(x) = e^x + 1. Da e^x > 0 for alle x, er f′(x) > 1 > 0 for alle x.

Da f′ er positiv overalt, er f voksende på hele Df = ℝ.

Svar

f′(x) = e^x + 1 > 0 for alle x, så f er voksende på hele ℝ.

6.D1.52Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Tre påstande om tredjegradsgraf

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Påstand 1: Aflæs f(1) på bilaget — grafen ligger lavere end y = 1 ved x = 1 (cirka 0,5), så f(1) ≠ 1. Falsk.

Påstand 2: f(x) = 0 betyder skæring med x-aksen. Grafen skærer x-aksen tre gange. Sand.

Påstand 3: f′(1) er tangentens hældning i x = 1. Grafen er aftagende dér (mellem lokalt maks og lokalt min), så f′(1) < 0. Falsk.

Svar

1) Falsk. 2) Sand. 3) Falsk.

6.D1.53Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Monotoniforhold for tredjegradspolynomium

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

a) f′(x) = x² + 2x − 3 = (x + 3)(x − 1).

b) f′ er en opadvendt parabel med rødder x = −3 og x = 1:

x < −3: f′ > 0 ⇒ f voksende.
−3 < x < 1: f′ < 0 ⇒ f aftagende.
x > 1: f′ > 0 ⇒ f voksende.

Svar

f er voksende på ]−∞; −3] og [1; ∞[ og aftagende på [−3; 1]. Lokalt maks ved x = −3 og lokalt min ved x = 1.

6.D1.54Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Monotoniforhold · 20·ln(x) − 4x

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

f′(x) = 20/x − 4 = 0 ⇒ x = 5.

For 0 < x < 5 er 20/x > 4, så f′ > 0 ⇒ f voksende. For x > 5 er f′ < 0 ⇒ f aftagende.

Svar

f er voksende på ]0; 5] og aftagende på [5; ∞[. Maks ved x = 5.

6.D1.55Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Maksimum for f(x) = 12√x − 3x

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

f′(x) = 6/√x − 3 = 0 ⇒ √x = 2 ⇒ x = 4.

f′ skifter fra positiv til negativ i x = 4, så det er et maksimum:

f(4) = 12·2 − 12 = 12

Svar

Maksimum: f(4) = 12.

6.D1.56Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Vandrette tangenter

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

f′(x) = 3x² + 6x − 9 = 3(x + 3)(x − 1).

Sæt f′(x) = 0: x = −3 eller x = 1.

Svar

Røringspunkterne har x-koordinater x = −3 og x = 1.

6.D1.57Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Vandrette tangenter — vis

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

a) f′(x) = 3x² − 12x + 9 = 3(x² − 4x + 3) = 3(x − 1)(x − 3).

b) f′(1) = 3·0·(−2) = 0 og f′(3) = 3·2·0 = 0. Da hældningen er 0, er tangenterne vandrette i x = 1 og x = 3.

Svar

f′(x) = 3(x − 1)(x − 3). f′(1) = f′(3) = 0, så grafen har vandrette tangenter ved x = 1 og x = 3.

6.D1.58Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Monotoni ud fra opgivne f′-rødder

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

a) f′(x) = x² − 4x − 5.

b) f′ er opadvendt parabel med rødder x = −1 og x = 5:

x < −1: f′ > 0 ⇒ f voksende.
−1 < x < 5: f′ < 0 ⇒ f aftagende.
x > 5: f′ > 0 ⇒ f voksende.

Svar

f er voksende på ]−∞; −1] og [5; ∞[, aftagende på [−1; 5]. Lokalt maks i x = −1, lokalt min i x = 5.

6.D1.59Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Afkøling af kaffe · aflæsning på graf

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

⚠️ Bilag ikke aflæst præcist

De konkrete tal nedenfor (x ≈ 5 min, f′(40) ≈ −0,2) er eksempler — jeg har ikke kunnet aflæse bilaget præcist. Brug metoden på det officielle bilag.

a) Find den x-værdi hvor grafen krydser y = 60: gå vandret ind fra y = 60, ned til x-aksen, og aflæs.

b) Tegn tangenten til grafen i x = 40, vælg to gitterpunkter på tangenten, og udregn hældningen som Δy/Δx. Tallet bliver negativt (temperaturen aftager).

Svar

a) Tidspunktet hvor f = 60 aflæses på bilaget. b) f′(40) = hældningen af tangenten i x = 40 — negativ, fordi kaffen er ved at køle af.

6.D1.60Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Identificér f vs. f′ ud fra grafer

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

I et lokalt ekstremum for f er f′ = 0 — dvs. f′-grafen krydser x-aksen.

Graf A har tre lokale ekstrema (to minima og ét maks), og graf B krydser x-aksen tre gange. Hvert ekstremum for A passer med et nulpunkt for B.

Desuden: f er et fjerdegradspolynomium ⇒ f′ er et tredjegradspolynomium. A ligner et fjerdegradspolynomium, B et tredjegradspolynomium.

Svar

A er grafen for f (og B er grafen for f′).

6.D1.61Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Identificér f og f′ ud fra grafer

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

I et lokalt ekstremum for f er f′ = 0 — så f′-grafen krydser x-aksen netop dér.

Graf B (rød) har et lokalt maksimum ved x ≈ 0 og et lokalt minimum ved x ≈ 4. Graf A (blå) har nulpunkter ved x ≈ −1 og x ≈ 3 — placeret før B's ekstrema, men det er A der skifter fortegn dér, hvor B har vandret tangent.

Hvor B er voksende (omkring x ≈ −1) er A positiv; hvor B er aftagende (omkring x ≈ 2) er A negativ. Det stemmer kun, hvis A er f′ og B er f.

Svar

Graf B er grafen for f (og A er grafen for f′).

6.D1.62Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Monotoni og ekstrema fra fortegnslinje

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Aflæs fortegnslinjen for f′:

På ]−4 ; −2[: f′ < 0 ⇒ f aftagende.
På ]−2 ; 3[: f′ > 0 ⇒ f voksende.
På ]3 ; 5[ og ]5 ; 9[: f′ < 0 ⇒ f aftagende.

Punkter: (−2, 5) lokalt minimum, (3, 7) lokalt maksimum, (5, 1) vandret tangent uden ekstremum (f′ skifter ikke fortegn).

Skitsen tegnes som en glat kurve gennem disse tre punkter med korrekt monotoni og vandrette tangenter ved x = −2, 3 og 5.

Svar

Aftagende på ]−4;−2] og [3;9[, voksende på [−2;3]. Lokalt min i (−2,5), lokalt maks i (3,7), vandret tangent i (5,1).

6.D1.63Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Identifikation af harmonisk svingning

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

f(x) = sin(x) + 3 har amplitude 1, middellinje y = 3, max = 4 og min = 2.

På figuren: Graf C (rød) svinger mellem 2 og 4 omkring middellinjen y = 3 ⇒ det er f.

Graf B (blå) har max ≈ 5 (amplitude større end 1) og kan derfor ikke være f. Graf A (grøn) svinger omkring y = −1 (forkert middellinje) og kan heller ikke være f.

Svar

Graf C er grafen for f(x) = sin(x) + 3.

6.D1.64Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Match af sin-funktioner og grafer

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

f(x) = sin(x) + 2: middellinje y = 2, periode 2π ⇒ den røde graf B (svinger omkring y = 2).

h(x) = sin(x/2): middellinje 0, periode 4π (lang) ⇒ den langsomme blå graf A.

g(x) = sin(2x): middellinje 0, periode π (kort) ⇒ den hurtigt svingende grønne graf C.

Svar

A = h, B = f, C = g.

6.D1.65Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Match af sin-funktioner og grafer

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

De tre funktioner har: f amplitude 3 og periode 4π; g amplitude 3 og periode 2π; h amplitude 2 og periode 4π.

Graf B (rød) har amplitude 3 og kort periode (omkring 2π) ⇒ g(x) = 3·sin(x).

Graf A (blå) har amplitude 3 og lang periode (omkring 4π) ⇒ f(x) = 3·sin(x/2).

h er ikke afbildet (amplitude kun 2).

Svar

A = f, B = g. h hører ikke til nogen af graferne.

6.D1.66Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Aflæs A, ω og d fra graf

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Middellinjen ligger ved y = 1 ⇒ d = 1.

Maksimum er y = 2 og minimum y = 0, så A = (2 − 0)/2 = 1.

Toppene ligger ved x = π/2 og x = 3π/2, så perioden er T = π. Heraf ω = 2π/T = 2.

Svar

A = 1, ω = 2, d = 1, så f(x) = sin(2x) + 1.

6.D1.67Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Funktionstabel og skitse

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Indsæt i f(x) = 2·sin(π/2 · x) + 3:

x = 0: 2·sin(0) + 3 = 3 ✓
x = 1: 2·sin(π/2) + 3 = 2·1 + 3 = 5
x = 2: 2·sin(π) + 3 = 2·0 + 3 = 3
x = 3: 2·sin(3π/2) + 3 = 2·(−1) + 3 = 1 ✓
x = 4: 2·sin(2π) + 3 = 3

Skitsen er en sinuskurve med middellinje y = 3, amplitude 2, periode 4: gennem (0,3), maks (1,5), (2,3), min (3,1), (4,3).

Svar

Tabellen udfyldes: f(1) = 5, f(2) = 3, f(4) = 3.

6.D1.68Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Amplitude og periode

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

For f(x) = A·sin(ω·x + φ) + d er amplituden |A| og perioden T = 2π/ω.

Her er A = 5 og ω = π, så T = 2π/π = 2.

Svar

Amplitude = 5, periode = 2.

6.D1.69Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Aflæs amplitude og periode

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

⚠️ Bilag ikke aflæst præcist

Tallene y ≈ ±3 og T ≈ 2 er eksempler — jeg har ikke aflæst det præcise bilag. Brug metoden på den faktiske graf.

Amplitude: aflæs grafens maksimum og minimum på y-aksen. A = (max − min)/2.

Periode T: aflæs afstanden mellem to nabotoppe (eller to nabodale) langs x-aksen.

Svar

Amplitude og periode aflæses direkte på bilaget med metoderne ovenfor.

6.D1.70Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Største- og mindsteværdi

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

sin(x) antager værdier i [−1, 1], så 4·sin(x) ligger i [−4, 4].

Trækkes 2 fra: f(x) ∈ [−6, 2].

Svar

Største værdi = 2, mindste værdi = −6.

6.D1.71Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Harmonisk svingning – værdimængde

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Da sin(x) ligger mellem −1 og 1, ligger f(x) = 3·sin(x) + 4 mellem 3·(−1)+4 = 1 og 3·1+4 = 7. Mindsteværdien er altså 1, så f(x) kan aldrig blive 0.

Svar

Værdimængden er [1; 7], så f(x) = 0 har ingen løsninger.

6.D1.72Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Harmonisk svingning – værdimængde

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

f(x) = 2·sin(x) + 5 har værdimængde [5−2; 5+2] = [3; 7]. Ligningen f(x) = k har løsninger netop når k ligger i værdimængden.

Svar

f(x) = k har ingen løsninger når k < 3 eller k > 7.

6.D1.73Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Harmonisk svingning – bestem A, ω, d

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Periode π giver ω = 2π/π = 2.

f(0) = A·sin(0) + d = d = 4, så d = 4.

Maksimum = A + d = 7 ⇒ A = 3.

Svar

A = 3, ω = 2, d = 4.

6.D1.74Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Harmonisk svingning – periode og afledet

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

a) Perioden er 2π/ω = 2π/(4π) = 1/2.

b) Kædereglen: f′(x) = (1/2)·4π·cos(4π·x) = 2π·cos(4π·x).

Svar

Periode = 1/2. f′(x) = 2π·cos(4π·x).

6.D1.75Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Harmonisk svingning – funktionsværdi og afledet

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

a) f(π) = (1/2)·sin(2π) + 3 = (1/2)·0 + 3 = 3.

b) f′(x) = (1/2)·2·cos(2x) = cos(2x).

Svar

f(π) = 3. f′(x) = cos(2x).

6.D1.76Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Harmonisk svingning – tidevand

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Sin svinger mellem −1 og 1, så f(x) = 1,2·sin(0,51x − 1,5) + 6 svinger mellem 6 − 1,2 = 4,8 og 6 + 1,2 = 7,2.

Svar

Højeste vandstand: 7,2 m. Laveste vandstand: 4,8 m.

6.D1.77Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Harmonisk svingning – gynge

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

a) Maks = 0,4 + 1,3 = 1,7 m.

b) f(4) = 0,4·sin(π/2·4) + 1,3 = 0,4·sin(2π) + 1,3 = 1,3 m.

Tallet f(4) = 1,3 m betyder, at gyngen 4 sekunder efter første højdemåling er 1,3 m over jorden — altså i ligevægtsstillingen.

Svar

Maksimal højde: 1,7 m. f(4) = 1,3 m (gyngen er i ligevægt efter 4 s).

6.D1.78Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Optimering – trekantsareal

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Trekant OPQ har retvinklet hjørne i Q. Kateter: |OQ| = x og |PQ| = f(x) = −x/4 + 3.

A(x) = (1/2)·x·(−x/4 + 3) = −x²/8 + 3x/2.

A′(x) = −x/4 + 3/2 = 0 ⇒ x = 6.

A″(x) = −1/4 < 0, så x = 6 giver maksimum. A(6) = −36/8 + 9 = 4,5.

Svar

Arealet er størst for x = 6, hvor det er 4,5.

6.D1.79Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Optimering – hundegård op ad mur

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Hegnet udgør tre sider: 2x + y = 30, så y = 30 − 2x.

a) x = 6 ⇒ y = 30 − 12 = 18 m. Areal = x·y = 6·18 = 108 m².

b) A(x) = x·(30 − 2x) = 30x − 2x².

A′(x) = 30 − 4x = 0 ⇒ x = 7,5 m. A″(x) = −4 < 0, så det er maksimum. Da giver y = 15 m og A = 112,5 m².

Svar

a) y = 18 m, areal = 108 m². b) A(x) = 30x − 2x²; arealet er størst for x = 7,5 m (areal = 112,5 m²).

Delprøve 2 — med TI-Nspire

6.D2.1Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Skæringspunkter polynomium/eksp.

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

6.D2.1— To funktioner f og g er bestemt ved fæ)=x-2x+3 g(0)=3-1,2 a) Bestem ved beregning koordinatsættet til hvert af skæringspunkterne mellem grafen for fog grafen for g.

Løsning med TI-Nspire

Nspire · Calculator1.1

›f(x) := x^2 − 2x + 3

→Done

Nspire · Calculator1.1

›g(x) := 3·1.2^x

→Done

Nspire · Calculator1.1

›solve(f(x) = g(x), x)

→x = 0 eller x ≈ 5.32

Nspire · Calculator1.1

›{f(0), f(5.32)}

→{3, ≈ 20.5}

y-koordinater

Svar

Skæringspunkter (0, 3) og ca. (5,32; 20,5).

6.D2.2Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Bestem konstant

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

6.D22 — En funktion er givet ved forskriften SG)=2-log(x) +x" — kx , hvor k er et tal. Det oplyses, at f(10)=22. a) Bestem tallet k.

Løsning med TI-Nspire

Nspire · Calculator1.1

›solve(2·log(10) + 10^2 − k·10 = 22, k)

→k = 8

Svar

k = 8.

6.D2.3Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Potensmodel

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

6.D2.3 — En bestemt type badebolde fås i forskellige størrelser. Rumfanget af en sådan badebold kan beskrives ved modellen å fo)=E.x, x>0, O 5 hvor (x) er badeboldens rumfang (målt i cm”), og x er dens diameter (målt i cm). a) Bestem rumfanget af en badebold med diameteren 40 em. b) Bestem diameteren af en badebold med rumfanget 1000 em'. Peter har to badebolde i forskellig størrelse. Den store badebolds diameter er 20 % større end den lille badebolds diameter. e) Hvor mange procent er den store badebolds rumfang større end den lille badebolds rumfang?

Løsning med TI-Nspire

Nspire · Calculator1.1

›f(x) := (π/6)·x^3

→Done

Nspire · Calculator1.1

›f(40)

→≈ 33510

cm³

Nspire · Calculator1.1

›solve(f(x) = 1000, x)

→x ≈ 12.41

Nspire · Calculator1.1

›(1.2^3 − 1)·100

→72.8

% større rumfang

Svar

a) ≈ 33 510 cm³. b) diameter ≈ 12,41 cm. c) 72,8 % større.

6.D2.4Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Potensfunktion · to punkter

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

6.D2.4 En potensfunktion / er bestemt ved S)=bx'. Grafen for / går gennem punkterne P(2,7) og Q(15,11). a) Bestem en forskrift for f. Vejledende enkeltopgaver stx A December 2025 Side 97 af 157

Løsning med TI-Nspire

Nspire · Calculator1.1

›solve({b·2^a = 7, b·15^a = 11}, {a, b})

→a ≈ 0.224, b ≈ 5.99

Svar

f(x) ≈ 5,99·x^(0,224).

6.D2.5Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Lineær regression · Delhi

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

6.D2.5 — Nedenstående tabel viser udviklingen i indbyggertallet i Delhi i perioden 2016-2022. I en model kan udviklingen beskrives ved St)=a.x+b, hvor f(x) angiver indbyggertallet (målt i mio.) i Delhi x år efter 2016. a) Bestem a og b ved regression på tabellens data. b) Bestem, hvor meget befolkningstallet ifølge modellen stiger med på 10 år. c) Hvomår vil befolkningstallet i Delhi nå op på 40 mio.? Kilde: worldpopulationreview

Løsning med TI-Nspire

Sådan i Nspire

Tilføj en Lists & Spreadsheet-side (ctrl+doc → 4: Tilføj regneark). Navngiv kolonne A xs (årstal − 2016) og B ys (befolkning i mio.) og indtast tabellens data.

I en Calculator-side: skriv LinRegMx(xs, ys, 1) — eller via menuen: Menu → 4: Statistik → 1: Statistiske beregninger → 3: Lineær regression (mx+b). Sæt X-liste xs, Y-liste ys, og "Gem RegEqn i" til f1.

For at se modellen oven på data: tilføj en Data & Statistics-side, vælg xs på x-aksen og ys på y-aksen — punktsky og f1 tegnes automatisk.

Nspire · Calculator1.1

›LinRegMx(xs, ys, 1)

→a ≈ 0.9, b ≈ 26.7

b) Stigning på 10 år: 10·a = 9 mio.

Nspire · Calculator1.1

›solve(0.9·x + 26.7 = 40, x)

→x ≈ 14.78

år efter 2016 ⇒ 2031

Svar

a) a ≈ 0,9; b ≈ 26,7. b) ≈ 9 mio. på 10 år. c) i løbet af 2031.

6.D2.6Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Lineær regression · Canada

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

6.D2.6 — Nedenstående tabel viser udviklingen i indbyggertallet i Canada i perioden 1964-2024. Anal å efer 198 500 s Tø mæygserlime | 19 [ H 0 A Hele tabellen med alle 13 datapunkter findes i bilaget "Befolkningstal i Canada.xlsx " I en model kan udviklingen beskrives ved fo)=a.x+b, hvor f(x) er indbyggertallet (målt i mio.) i Canada x år efter 1964. a) Bestem en forskrift for f ved brug af lineær regression. b) Gør rede for, hvad tallet a fortæller om udviklingen i indbyggertallet i Canada. c) Løs ligningen f(x)=45, og forklar, hvad løsningen fortæller om indbyggertallet i Canada. Kilde: worldometers Vejledende enkeltopgaver str A December 2025 Side 98 af 157

Løsning med TI-Nspire

Sådan i Nspire

Indtast bilagets data i en Lists & Spreadsheet-side: kolonne A xs (år − 1964), kolonne B ys (mio. indb.).

Beregning: i Calculator skriv LinRegMx(xs, ys, 1), eller Menu → 4: Statistik → 1: Statistiske beregninger → 3: Lineær regression (mx+b). Gem regression i f1.

Nspire · Calculator1.1

›LinRegMx(xs, ys, 1)

→a ≈ 0.34, b ≈ 19.3

b) a er den årlige tilvækst i indbyggertallet i mio./år.

Nspire · Calculator1.1

›solve(0.34·x + 19.3 = 45, x)

→x ≈ 75.6

år efter 1964 ⇒ omkring 2040

Svar

a) f(x) ≈ 0,34x + 19,3. b) a ≈ 0,34 mio. tilvækst pr. år. c) omkring år 2040.

6.D2.7Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Lineær regression · førerløse taxa

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

6.D2.7— Tabellen viser antal kørte km (målt i tusinde) for førerløse taxaer i Californien for hver måned i perioden april 2024 til maj 2025. Antal måneder sfrerspit 2024 - i z Antal kørte km (målt i tusinde) j h Hele tabellen med alle 14 datapunkter findes i bilaget "førerløsetaxaer.xlsx " I en model kan udviklingen i antallet af kørte km beskrives ved fo)=a.x+b, hvor f(x) er det månedlige antal kørte km (målt i tusinde) x måneder efter april 2024. a) Bestem en forskrift for f ved brug af lineær regression.

Løsning med TI-Nspire

Sådan i Nspire

Indtast bilagets data i et regneark (kolonne A xs, kolonne B ys). Kør derefter LinRegMx(xs, ys, 1) i Calculator, eller Menu → 4: Statistik → 1: Statistiske beregninger → 3: Lineær regression.

Nspire · Calculator1.1

›LinRegMx(xs, ys, 1)

→a ≈ 0.28, b ≈ 0.3

Svar

f(x) ≈ 0,28·x + 0,3 (tusind km).

6.D2.8Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Eksponentiel regression · Egypten

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

6.D2.8 — Nedenstående tabel viser udviklingen i indbyggertallet i Egypten i perioden 1960-2000. [mretrnø ] O]s |]sJæls||A]0] I en model kan udviklingen beskrives ved fo)=ba', hvor f(x) er indbyggertallet (målt i mio.) i Egypten x år efter 1960. a) Benyt tabellens oplysninger til at bestemme tallene & og b ved eksponentiel regression b) Gør rede for, hvad tallet a fortæller om udviklingen i indbyggertallet i Egypten. 12024 var indbyggertallet i Egypten 117,0 mio. c) Bestem f(64), og undersøg, om 117,0 mio. afviger mere end 10 % fra modellens befolkningstal i 2024. Kilde: worldpopulationreview Vejledende enkeltopgaver stx A December 2025 Side 99 af 157

Løsning med TI-Nspire

Sådan i Nspire

Tilføj Lists & Spreadsheet-side. Navngiv kolonne A xs (årstal − 1960) og B ys (befolkning i mio.) og indtast tabellens værdier.

Hurtigste vej: skriv ExpReg(xs, ys) i en Calculator-side.

Eller via menu: Menu → 4: Statistik → 1: Statistiske beregninger → A: Eksponentiel regression → X-liste xs, Y-liste ys, gem regression i f1.

Visualisering: tilføj en Data & Statistics-side, vælg xs på vandret akse og ys på lodret — punktsky og regressionskurve plottes automatisk.

Nspire · Calculator1.1

›ExpReg(xs, ys)

→a ≈ 26.9, b ≈ 1.025

b) b = 1,025 betyder årlig vækst på ca. 2,5 %.

Nspire · Calculator1.1

›26.9·1.025^64

→≈ 130.5

modellens befolkning i 2024

Nspire · Calculator1.1

›abs(130.5 − 117)/117·100

→≈ 11.5

afvigelse i %, mere end 10%

Svar

a) a ≈ 26,9; b ≈ 1,025. b) årlig vækst på ca. 2,5 %. c) f(64) ≈ 130,5 mio.; afvigelsen er ca. 11,5 % > 10 %.

6.D2.9Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Eksponentiel regression · basketball

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

6.D29 — Nedenstående tabel viser udviklingen i antallet af medlemmer i danske basketballklubber i perioden 2018-2023. Hele tabellen med alle 6 datapunktr findes I bilaget "Antal medlemmer xlsv I en model kan udviklingen beskrives ved S6)=ba", hvor f(x) er antallet af medlemmer i danske basketballklubber x år efter 2018. a) Bestem a og b ved regression på tabellens data. b) Bestem antallet af medlemmer i år 2030 ifølge modellen. e) Hvor mange procent stiger antallet af medlemmer med på 10 år? Kilde: dgi

Løsning med TI-Nspire

Sådan i Nspire

Indtast bilagets data i et regneark (xs = år − 2018, ys = medlemmer). Kør ExpReg(xs, ys), eller Menu → 4: Statistik → 1: Statistiske beregninger → A: Eksponentiel regression.

Nspire · Calculator1.1

›ExpReg(xs, ys)

→a ≈ 15030, b ≈ 1.086

Nspire · Calculator1.1

›15030·1.086^12

→≈ 40581

medlemmer i 2030

Nspire · Calculator1.1

›(1.086^10 − 1)·100

→≈ 128.8

% stigning på 10 år

Svar

a) a ≈ 15 030; b ≈ 1,086. b) ca. 40 600 medlemmer. c) ca. 129 %.

6.D2.10Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Potensregression · pendul

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

6.D2.10— Nedenstående tabel viser sammenhørende værdier for et penduls snorlængde og svingningstid. [sotmgemr [w e]e]u[e[u[w[ulæ]N] I en model kan sammenhængen beskrives ved fo)=bx", hvor f(x) er svingningstiden (målt i sekunder), og x er snorlængden (målt i meter). a) Bestem en forskrift for f ved brug af regression. b) Bestem svingningstiden for et pendul på 1,5 meter. c) Hvor mange procent stiger svingningstiden, hvis snorlængden øges med 30 %? yejledende enkeltopgaver stx A December 2025 Side 100 af 157

Løsning med TI-Nspire

Sådan i Nspire

Indtast målingerne i et regneark (kolonne A xs = længde, B ys = svingningstid).

Beregning: PowerReg(xs, ys) i Calculator, eller Menu → 4: Statistik → 1: Statistiske beregninger → 9: Potensregression. Husk at potensregression kun virker for positive data.

Nspire · Calculator1.1

›PowerReg(xs, ys)

→a ≈ 2.0, b ≈ 0.50

Nspire · Calculator1.1

›2.0·1.5^0.5

→≈ 2.45

svingningstid i sek

Nspire · Calculator1.1

›(1.3^0.5 − 1)·100

→≈ 14.0

% stigning når L stiger 30%

Svar

a) f(x) ≈ 2,0·x^(0,5). b) ≈ 2,45 s. c) ca. 14 % stigning.

6.D2.11Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Andengrads-regression · kast

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

6.D2.11 y _l— x En basketbold kastes. Boldens højde over gulvet til forskellige tidspunkter registreres. Nedenstående tabel viser de målte værdier. [Fomnistø |cæ[on 1]s3 sæ]1S]0ø[OR]EE] I en model kan sammenhængen beskrives ved fo)=a-x'+bx+c, hvor f(x) er højden (målt i cm) over gulvet, og x er tiden (målt i sekunder), efter at bolden slippes. a) Benyt tabellens oplysninger til at bestemme tallene a, b og c ved regression. b) Hvor lang tid, efter at bolden slippes, vil den ifølge modellen ramme jorden? Vejledende enkeltopgaver stx A December 2025 Side 101 af 157

Løsning med TI-Nspire

Sådan i Nspire

Indtast tidspunkter og højder i et regneark (xs, ys). Kør QuadReg(xs, ys), eller Menu → 4: Statistik → 1: Statistiske beregninger → 6: Kvadratisk regression. Gem i f1 så du kan tegne grafen i en Graphs-side.

Nspire · Calculator1.1

›QuadReg(xs, ys)

→a ≈ −980, b ≈ 980, c ≈ 240

Nspire · Calculator1.1

›solve(a·x^2 + b·x + c = 0, x)

→x ≈ 1.20

positiv rod = tid til jorden

Svar

a) a ≈ −980, b ≈ 980, c ≈ 240. b) bolden rammer jorden efter ca. 1,2 s.

6.D2.12Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Skæringspunkter + afstand

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

6.D2.12— Et andengradspolynomium f er givet ved fæ)=-2x+8x—3, og en linje / er givet ved ligningen y=2x-4. a) Bestem koordinatsættet til hvert af skæringspunkterne mellem grafen for fog linjen I. Punktet P(1,3)ligger på grafen for f. b) Bestem afstanden fra punktet P til linjen / ved brug af en formel.

Løsning med TI-Nspire

Nspire · Calculator1.1

›solve(-2x^2 + 8x − 3 = 2x − 4, x)

→x = 0.5 eller x = 3

Nspire · Calculator1.1

›{2·0.5 − 4, 2·3 − 4}

→{−3, 2}

y-koordinater

Nspire · Calculator1.1

›abs(2·1 − 3 − 4)/sqrt(2^2 + 1^2)

→5/sqrt(5) = sqrt(5) ≈ 2.236

afstand fra P(1,3) til l

Svar

a) (0,5; −3) og (3, 2). b) afstand = √5 ≈ 2,24.

6.D2.13Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Parabel-hvælving

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

6.D2.13 Få J [2] % I vinkælderen Celler Cooperatiu de Pinell de Brai fra 1918 er nogle af kælderens hvælvinger parabelformede. I en model kan en bestemt af kælderens parabelformede hvælvinger beskrives som en del af grafen for funktionen fl)=-1,6x" +3,4x, hvor f(x) er højden over gulvet af hvælvingen (målt i meter) i afstanden x (målt i meter) fra venstre hjørne O af hvælvingen. Se figuren. a) Bestem bredden af hvælvingen ved gulvhøjde. b) Bestem ved beregning hvælvingens maksimale højde. Vejledende enkeltopgaver stx A December 2025 Side 102 af 157

Løsning med TI-Nspire

Nspire · Calculator1.1

›solve(-1.6·x^2 + 3.4·x = 0, x)

→x = 0 eller x = 2.125

bredde = 2.125 m

Nspire · Calculator1.1

›solve(d/dx(-1.6·x^2 + 3.4·x) = 0, x)

→x = 1.0625

Nspire · Calculator1.1

›-1.6·1.0625^2 + 3.4·1.0625

→≈ 1.806

maks. højde i m

Svar

a) bredde ≈ 2,13 m. b) maks. højde ≈ 1,81 m.

6.D2.14Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Tangent parallel med linje

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

6.D2.14— En funktion fer givet ved Sl)=3x'—-6x+1, og en linje / er givet ved ligningen y=9x-5. Grafen for / har en tangent I, der er parallel med linjen /. a) Bestem koordinatsættet til røringspunktet for tangenten /.

Løsning med TI-Nspire

Nspire · Calculator1.1

›solve(d/dx(3x^2 − 6x + 1) = 9, x)

→x = 2.5

hældningen er 9

Nspire · Calculator1.1

›3·2.5^2 − 6·2.5 + 1

→4.75

y-koordinat

Svar

Røringspunkt (2,5; 4,75).

6.D2.15Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Kvadratisk regression · tre punkter

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

6.D2.15— En funktion f er bestemt ved fl)=a:0+bxte. Grafen for / går gennem punkterne P(3,19), O(5,12) og R(8,14). a) Bestem tallene , b og c ved regression.

Løsning med TI-Nspire

Nspire · Calculator1.1

›solve({a·9 + b·3 + c = 19, a·25 + b·5 + c = 12, a·64 + b·8 + c = 14}, {a, b, c})

→a ≈ 0.83, b ≈ −10.5, c ≈ 42.5

Svar

a ≈ 0,83; b ≈ −10,5; c ≈ 42,5.

6.D2.16Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Logistisk-lignende · fisk

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

6.D2.16— Ien model kan udviklingen i antallet af en bestemt type fisk i en sø beskrives ved funktionen 220 x)=500-—7— —, x20, o 1+850.,e"" hvor f(x) betegner antallet af fisk i søen, og x angiver antallet af år efter første optælling af fiskene i søen. a) Tegn grafen for f. b) Bestem, hvornår antallet af fisk ifølge modellen kommer ned på 300. Vejledende enkeltopgaver stx A December 2025 Side 103 af 157

Løsning med TI-Nspire

Sådan tegnes grafen i Nspire

Tilføj en Graphs-side (ctrl+doc → 2: Tilføj Graphs). I indtastningslinjen nederst: skriv f1(x):=500−220/(1+850·e^(−2x)) og tryk enter.

Tilpas vinduet: Menu → 4: Vindue/Zoom → 1: Vinduesindstillinger (fx x ∈ [0; 10], y ∈ [0; 600]).

For at finde, hvornår der er 300 fisk, kan du tegne f2(x):=300 og bruge Menu → 6: Analyser graf → 4: Skæring.

Nspire · Calculator1.1

›solve(500 − 220/(1 + 850·e^(-2·x)) = 300, x)

→x ≈ 2.21

år til 300 fisk

Svar

a) graf tegnes i Nspire (se vejledning). b) efter ca. 2,2 år (≈ 2 år og 3 måneder).

6.D2.17Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Potensfunktion · skildpadde

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

6.D2.17 w_ b Billedkilde: Marc Benedetti, Pixabay I en model kan vægten af en bestemt landskildpaddeart beskrives ved forskriften SC)=481-x?, 0<x<25, hvor f.(x) angiver skildpaddens vægt (målt i kg) x år efter fødslen. a) Bestem skildpaddens vægt, når den er et år gammel. b) Løs ligningen f(x) = 20, og forklar, hvad løsningen fortæller om skildpaddens vægt.

Løsning med TI-Nspire

Nspire · Calculator1.1

›4.81·1^0.572

→4.81

vægt efter 1 år (kg)

Nspire · Calculator1.1

›solve(4.81·x^0.572 = 20, x)

→x ≈ 7.42

år til den vejer 20 kg

Svar

a) ≈ 4,81 kg. b) x ≈ 7,42 — skildpadden vejer 20 kg efter ca. 7,4 år.

6.D2.18Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Logistisk · bladlus

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

6.D2.18 : S v Æl , Billedkilde: pixabay I en model kan udviklingen i antallet af bladlus på en busk beskrives ved funktionen 500 =, 0<x<25 FO- T. S hvor f (x) betegner antallet af bladlus på busken til tidspunktet x (målt i døgn). a) Tegn grafen for f. b) Benyt modellen til at bestemme det tidspunkt, hvor der var 200 bladlus på busken. €) Benyt modellen til at bestemme væksthastigheden i antallet af bladlus til tidspunktet x =14. Vejledende enkeltopgaver stx A December 2025 Side 104 af 157

Løsning med TI-Nspire

Nspire · Calculator1.1

›f(x) := 500/(1 + 10·0.763^x)

→Done

Nspire · Calculator1.1

›solve(f(x) = 200, x)

→x ≈ 4.96

dage til 200 bladlus

Nspire · Calculator1.1

›(d/dx(f(x))) | x = 14

→≈ 6.5

væksthastighed bladlus/dag

Svar

b) ca. dag 5. c) ≈ 6,5 bladlus/døgn.

6.D2.19Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Tangent + monotoni

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

6.D2.19— En funktion fer givet ved fO=L-3e". a) Bestem en ligning for tangenten til grafen for fi punktet P(5, f(5)) . b) Bestem monotoniforholdene for f ved hjælp af differentialregning.

Løsning med TI-Nspire

Nspire · Calculator1.1

›f(x) := (x − 3)·e^(-x)

→Done

Nspire · Calculator1.1

›f(5)

→2·e^(-5) ≈ 0.01348

Nspire · Calculator1.1

›d/dx(f(x)) | x = 5

→-e^(-5) ≈ -0.00674

hældning

Nspire · Calculator1.1

›solve(d/dx(f(x)) = 0, x)

→x = 4

maksimum

Svar

a) y = −e^(−5)·(x − 5) + 2·e^(−5). b) f vokser på (−∞; 4] og aftager på [4; ∞).

6.D2.20Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Tangent + monotoni · ln

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

6.D2.20— En funktion fer givet ved 3 fo)=m)-2, x>0. x a) Tegn grafen for f. b) Bestem en ligning for tangenten til grafen for /i punktet P(I, f(I)) . e) Bestem monotoniforholdene for f ved hjælp af /'(2) .

Løsning med TI-Nspire

Nspire · Calculator1.1

›f(x) := ln(x) − 3/x

→Done

Nspire · Calculator1.1

›f(1)

→-3

Nspire · Calculator1.1

›d/dx(f(x)) | x = 1

→4

hældning

Nspire · Calculator1.1

›solve(d/dx(f(x)) = 0, x)

→x = 3

kandidat (alle x > 0)

Svar

b) y = 4(x − 1) − 3 = 4x − 7. c) f aftager på (0; 3] og vokser på [3; ∞).

6.D2.21Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Nulpunkt + maksimum

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

6.D2.21— En funktion f er bestemt ved S=(x+2):e". a) Bestem funktionens nulpunkter. b) Bestem funktionens maksimum ved hjælp af differentialregning.

Løsning med TI-Nspire

Nspire · Calculator1.1

›solve((x + 2)·e^(-x) = 0, x)

→x = -2

Nspire · Calculator1.1

›solve(d/dx((x + 2)·e^(-x)) = 0, x)

→x = -1

Nspire · Calculator1.1

›(-1 + 2)·e^(1)

→e ≈ 2.718

maks-værdi

Svar

a) x = −2. b) maksimum f(−1) = e ≈ 2,72.

6.D2.22Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Monotoniforhold · polynomium

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

6.D2.22 En funktion fer bestemt ved Fk Dx I æj=—xt-—a"—— x, —2<x<5. EF 9 a) Tegn grafen for f. b) Bestem monotoniforholdene for f ved hjælp af "0 .

Løsning med TI-Nspire

Nspire · Calculator1.1

›f(x) := x^4/12 − x^3/3 − x/12

→Done

Nspire · Calculator1.1

›solve(d/dx(f(x)) = 0, x)

→x ≈ -0.244, x ≈ 0.262, x ≈ 1.982

Svar

f vokser på [−0,244; 0,262] og [1,982; 5]; aftager ellers (i [−2; 5]).

6.D2.23Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Maksimum · sqrt-produkt

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

6.D2.23 — En funktion fer givet ved e 1 /(x):;_… 64-x', 0<x<8. a) Tegn grafen for f. b) Bestem maksimum for f. Vejledende enkeltopgaver stx A December 2025 Side 105 af 157

Løsning med TI-Nspire

Nspire · Calculator1.1

›f(x) := (x/4)·sqrt(64 − x^2)

→Done

Nspire · Calculator1.1

›solve(d/dx(f(x)) = 0, x) | 0 ≤ x ≤ 8

→x = sqrt(32) ≈ 5.657

Nspire · Calculator1.1

›f(sqrt(32))

→8

maksimumværdi

Svar

Maksimum f(√32) = 8 ved x = √32 ≈ 5,66.

6.D2.24Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Nulpunkter, monotoni, parallel tangent

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

6.D2.24— En funktion fer bestemt ved Se)=-X'+5x0 —4x. a) Bestem nulpunkterne for f. b) Bestem monotoniforholdene for f. Linjen / med ligningen y=—x+9 er tangent til grafen for fi punktet PG3, f 3)) . En anden linje m er parallel med linjen / og rører grafen for fi punktet Q. c) Bestem x-koordinaten til punktet Q.

Løsning med TI-Nspire

Nspire · Calculator1.1

›solve(-x^3 + 5x^2 − 4x = 0, x)

→x = 0, x = 1, x = 4

Nspire · Calculator1.1

›solve(d/dx(-x^3 + 5x^2 − 4x) = 0, x)

→x ≈ 0.465, x ≈ 2.869

Nspire · Calculator1.1

›solve(d/dx(-x^3 + 5x^2 − 4x) = -1, x)

→x = 3, x = 1/3

x = 3 er P, så Q ved x = 1/3

Svar

a) x ∈ {0, 1, 4}. b) f aftager på (−∞; 0,465] og [2,869; ∞), vokser ellers. c) Q ved x = 1/3.

6.D2.25Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Andenafledet + ekstrema

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

6.D2.25— Figuren viser grafen for funktionen f y givet ved f i f _/(x):%xx -x +6x—4. a) Bestem f'(x). b) Bestem ekstremumsstederne x og x, forf. ' i ! ! i | F | i | F | i F i ! G x x

Løsning med TI-Nspire

Nspire · Calculator1.1

›f(x) := x^3/20 − x^2 + 6x − 4

→Done

Nspire · Calculator1.1

›d/dx(d/dx(f(x)))

→(3x)/10 − 2

f''(x)

Nspire · Calculator1.1

›solve(d/dx(f(x)) = 0, x)

→x₁ ≈ 4.39, x₂ ≈ 9.10

Svar

a) f''(x) = 3x/10 − 2. b) lokale ekstrema ved x₁ ≈ 4,39 og x₂ ≈ 9,10.

6.D2.26Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Minimum · eksponential

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

6.D2.26— En funktion fer givet ved Sæ)=e'-2x+3. a) Bestem f'(x) b) Gør ved hjælp af differentialregning rede for, at funktionen / har et minimum.

Løsning med TI-Nspire

Nspire · Calculator1.1

›d/dx(e^x − 2x + 3)

→e^x − 2

f'(x)

Nspire · Calculator1.1

›solve(e^x − 2 = 0, x)

→x = ln(2) ≈ 0.693

Nspire · Calculator1.1

›e^ln(2) − 2·ln(2) + 3

→5 − 2·ln(2) ≈ 3.614

minimum

Svar

f' skifter fra negativ til positiv ved x = ln(2), så f har minimum ≈ 3,61.

6.D2.27Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Newtons metode · ét trin

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

6.D2.27 — En funktion fer givet ved forskriften S6)=20'-x'+3x—3. Man kan ved hjælp af Newtons metode bestemme en tilnærmet værdi for nulpunktet for f. Lad x, =3 være startgættet i Newtons metode. a) Bestem ved beregning x. Vejledende enkeltopgaver stx A December 2025 Side 106 af 157

Løsning med TI-Nspire

Nspire · Calculator1.1

›f(x) := 2x^3 − x^2 + 3x − 3

→Done

Nspire · Calculator1.1

›3 − f(3)/(d/dx(f(x)) | x = 3)

→≈ 2.345

x₂

Svar

x₂ ≈ 2,345.

6.D2.28Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Newtons metode · to trin

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

6.D2.28 — En funktion fer givet ved forskriften Sl)=x'+20x-40. Man kan ved hjælp af Newtons metode bestemme en tilnærmet værdi for nulpunktet for f. Lad x, =3 være startgættet i Newtons metode. a) Bestem ved beregning x, og , -

Løsning med TI-Nspire

Nspire · Calculator1.1

›f(x) := x^3 + 20x − 40

→Done

Nspire · Calculator1.1

›3 − f(3)/(d/dx(f(x)) | x = 3)

→≈ 2.04

x₂

Nspire · Calculator1.1

›2.04 − f(2.04)/(d/dx(f(x)) | x = 2.04)

→≈ 1.787

x₃

Svar

x₂ ≈ 2,04 og x₃ ≈ 1,79.

6.D2.29Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Harmonisk svingning · maksimum

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

6.D2.29 %I Billedkilde: pexels I en model kan en persons hjerterytme beskrives ved en harmonisk svingning / givet ved _/(x):ZUvsin(Zn vx*%)i» 100, 0<x<10, hvor f(x) angiver trykket i en pulsåre (målt i mmHg) til tidspunktet x (målt i sekunder efter den første måling). a) Tegn grafen for . b) Bestem det tidspunkt, hvor trykket i pulsåren når sit maksimum første gang efter den første måling.

Løsning med TI-Nspire

Maksimum når sin(2π·x − π/2) = 1 ⇒ 2π·x − π/2 = π/2 ⇒ x = 0,5.

Nspire · Calculator1.1

›solve(2π·x − π/2 = π/2, x)

→x = 0.5

sek

Svar

Trykket når sit første maksimum efter 0,5 sek.

6.D2.30Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Harmonisk svingning · temperatur

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

6.D2.30— 1en model kan temperaturen i et rum beskrives ved en harmonisk svingning / givet ved fo)=4-sin(0,26-x—2,36)+21, — 0<x<24, hvor f(x) angiver rummets temperatur (målt i "C) til tidspunktet x (målt i antal timer efter midnat). a) Bestem temperaturen i rummet kl. 9.00. b) Bestem den hastighed, hvormed temperaturen ændrer sig kl. 9.00. Vejledende enkeltopgaver str A December 2025 Side 107 af 157

Løsning med TI-Nspire

Nspire · Calculator1.1

›f(x) := 4·sin(0.26·x − 2.36) + 21

→Done

Nspire · Calculator1.1

›f(9)

→≈ 24.97

°C kl. 9.00

Nspire · Calculator1.1

›d/dx(f(x)) | x = 9

→≈ 0.18

°C/time

Svar

a) ≈ 25,0 °C. b) temperaturen stiger med ca. 0,18 °C/time.

6.D2.31Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Tidevand · Mandø

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

6.D2.31 , Mandø" " ,*' a . føj + Billedkilde: pexels Vandstanden ved Mandø i Vadehavet varierer med tidevandet. I en model kan vandstanden for et bestemt døgn beskrives ved en harmonisk svingning /givet ved S6)=0,95-sin(0,51-x)+2,75, 0<x<24, hvor f(x) angiver vandstanden (målt i meter) til tidspunktet x (målt i timer efter midnat). a) Bestem vandstanden til tidspunktet x=12. Man kan via en dæmning køre til Mandø, når vandstanden er under 2 meter. b) Bestem de to tidsintervaller, hvor det i det pågældende døgn er muligt at køre til Mandø.

Løsning med TI-Nspire

Nspire · Calculator1.1

›0.95·sin(0.51·12) + 2.75

→≈ 1.87

m kl. 12

Nspire · Calculator1.1

›solve(0.95·sin(0.51·x) + 2.75 = 2 and 0 ≤ x ≤ 24, x)

→x ≈ 8.42, 9.89, 20.74, 22.21

Svar

a) ≈ 1,87 m. b) kan køres ca. 8:25–9:53 og 20:44–22:13.

6.D2.32Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Optimering · shelter

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

6.D2.32 D Z = = Figuren viser en model af et shelter. Modellen består af to ens, skråtstillede rektangulære flader. Nogle af målene fremgår af figuren. Rumfanget V(x) af et sådant shelter kan beskrives ved V()=40-x-/40000—x" , 50<x<150. a) Brug differentialregning til at bestemme x, så rumfanget af shelteret bliver størst muligt. Vejledende enkeltopgaver stx A December 2025 Side 108 af 157

Løsning med TI-Nspire

Nspire · Calculator1.1

›V(x) := 40·x·sqrt(40000 − x^2)

→Done

Nspire · Calculator1.1

›solve(d/dx(V(x)) = 0 and 50 < x < 150, x)

→x = 100·sqrt(2) ≈ 141.42

Nspire · Calculator1.1

›V(100·sqrt(2))

→400000

cm³ (eller den enhed opgaven bruger)

Svar

x = 100√2 ≈ 141,4. Maksimalt rumfang.

6.D2.33Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Optimering · hestefold

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

6.D2.33 2 h d En rektangulær hestefold skal anlægges op ad en mur og indhegnes. Der skal ikke være noget hegn op ad muren. På figuren ses en model af hestefolden, hvor sidelængderne er x og y Den samlede længde af hegnet er 200 m. a) Vis, at arealet A(x) af hestefolden er givet ved A(x)=x-(200—2x). b) Brug differentialregning til at bestemme x, så arealet af hestefolden bliver størst muligt.

Løsning med TI-Nspire

2x + y = 200 ⇒ y = 200 − 2x. Areal: A(x) = x·y = x·(200 − 2x). ✓

Nspire · Calculator1.1

›solve(d/dx(x·(200 − 2x)) = 0, x)

→x = 50

Nspire · Calculator1.1

›50·(200 − 2·50)

→5000

m² (maks. areal)

Svar

b) x = 50 m giver det største areal på 5 000 m².

6.D2.34Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Optimering · kasseformet klods

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

y ] ; x En kasseformet klods har kvadratiske endeflader med sidelængde x. Længden af klodsen er y, og klodsen har rumfanget 200 cm'. a) Vis, at overfladearealet A(x) af klodsen kan bestemmes ved A0)=2x +Æ. x b) Brug differentialregning til at bestemme x, så overfladearealet af klodsen bliver mindst muligt. Vejledende enkeltopgaver stx A December 2025 Side 109 af 157

Løsning med TI-Nspire

Rumfang: x²·y = 200 ⇒ y = 200/x². Overflade: 2 endeflader + 4 sider = 2x² + 4xy = 2x² + 800/x. ✓

Nspire · Calculator1.1

›solve(d/dx(2x^2 + 800/x) = 0 and x > 0, x)

→x = (200)^(1/3) ≈ 5.848

Nspire · Calculator1.1

›2·5.848^2 + 800/5.848

→≈ 205.16

cm² (minimum overflade)

Svar

b) x ≈ 5,85 cm; minimum overflade ≈ 205 cm².

6.D2.35Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Mindste lodrette afstand mellem to grafer

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

6.D2.35— Figuren viser graferne for to funktioner y fog g, der er givet ved f L =lø-x+2 S= -x+ go)= 3 x-2 4 - Funktionen L(x)= f (x) - g(%) 1 angiver den lodrette afstand mellem G grafen for f og grafen for g. a) Benyt Z(x) til at bestemme den mindste lodrette afstand mellem grafen for fog grafen for g.

Løsning med TI-Nspire

L(x) = f(x) − g(x) = (1/4)x² − x + 2 − ((3/4)x − 2) = (1/4)x² − (7/4)x + 4. Minimum hvor L′(x)=0.

Nspire · Calculator1.1

›l(x) := (1/4)·x^2 − (7/4)·x + 4

→Done

Nspire · Calculator1.1

›solve(d/dx(l(x)) = 0, x)

→x = 7/2

Nspire · Calculator1.1

›l(7/2)

→15/16 = 0.9375

mindste lodrette afstand

Svar

Mindste lodrette afstand er 15/16 ≈ 0,94 (ved x = 7/2).

6.D2.36Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Optimering · blomsterbed med halvcirkel

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

6.D2.36— Inger skal anlægge et blomsterbed i sin have. Bedet skal have form som et rektangel med en halveirkel for enden. På figuren ses en model af blomsterbedet, hvor halveirklens radius er r, og rektanglets sidelængder er h og 2r. Bedets areal skal være 50 m'. Sammenhængen mellem A og r er 1 h h 2r.h+—ar" =50. 2 Inger overvejer at anlægge bedet, så r er 4 meter. m' 1 E a) Bestem værdien af h, hvis r =4. E Inger beslutter sig i stedet for at vælge r, så bedets omkreds bliver mindst mulig. b) Opstil et udtryk for bedets omkreds Or). Bestem den værdi af r, hvor bedets omkreds bliver mindst mulig. Vejledende enkeltopgaver stx A December 2025 Side 110 af 157

Løsning med TI-Nspire

a) Indsæt r = 4 i 2r·h + ½π r² = 50:

Nspire · Calculator1.1

›solve(2·4·h + (1/2)·π·4^2 = 50, h)

→h = (25 − 4·π)/4 ≈ 3.108

meter

b) Isolér h: h = 25/r − π r/4. Omkreds: O(r) = 2h + 2r + π r = 50/r + 2r + π r/2.

Nspire · Calculator1.1

›o(r) := 50/r + 2·r + π·r/2

→Done

Nspire · Calculator1.1

›solve(d/dx(o(r)) = 0 and r > 0, r)

→r = 10/sqrt(4+π) ≈ 3.742

Nspire · Calculator1.1

›o(10/sqrt(4+π))

→≈ 26.72

m (mindste omkreds)

Svar

a) h ≈ 3,11 m. b) O(r) = 50/r + 2r + π r/2; min ved r ≈ 3,74 m.

6.D2.37Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Optimering · cylinderformet beholder uden låg

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

6.D2.37 — En fabrik ønsker at fremstille en beholder til opsamling af regnvand. Beholderen skal være cylinderformet med radius r og højde A. Se figuren. Beholderens rumfang V skal være 0,5 m", og den skal ikke have noget låg. Fabrikken overvejer at fremstille beholderen med en radius på 0,2 m. h a) Bestem beholderens højde 4, hvis V=0,5,og r=0,2. Fabrikken beslutter sig i stedet for at vælge radius, så det samlede overfladeareal af Y beholderen bliver mindst muligt. Rumfanget af beholderen skal stadig være 0,5 m'. b) Opstil et udtryk for det samlede overfladeareal O(r). Bestem den værdi af r, hvor overfladearealet af beholderen bliver mindst muligt.

Løsning med TI-Nspire

a) V = π r² h ⇒ h = V/(π r²).

Nspire · Calculator1.1

›0.5/(π·0.2^2)

→≈ 3.979

b) Uden låg: O(r) = π r² + 2π r·h med h = 0,5/(π r²), så O(r) = π r² + 1/r.

Nspire · Calculator1.1

›o(r) := π·r^2 + 1/r

→Done

Nspire · Calculator1.1

›solve(d/dx(o(r)) = 0 and r > 0, r)

→r = (1/(2·π))^(1/3) ≈ 0.5419

Nspire · Calculator1.1

›o(0.5419)

→≈ 2.768

m² (mindste overfladeareal)

Svar

a) h ≈ 3,98 m. b) O(r) = π r² + 1/r; min ved r ≈ 0,54 m.

6.D2.38Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Optimering · gødning fordelt på to marker

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

6.D2.38— En landmand dyrker komn på to marker. Sammenhængen mellem mængden af gødning x (målt i tons) og høstudbyttet f(x) (målt i tons) kan på mark ] beskrives ved funktionen S6)=71-60:0%", Sammenhængen mellem mængden af gødning x (målt i tons) og høstudbyttet g(x) (målt i tons) kan på mark 2 beskrives ved funktionen £0)=73-60.e"t", Landmanden bruger i alt 2 tons gødning. a) Bestem det samlede høstudbytte fra de to marker, hvis der bruges 1,5 tons gødning på mark I og resten på mark 2. b) Opstil et udtryk for det samlede høstudbytte A(x) fra de to marker ved brug af x kg gødning på mark I og resten på mark 2. Bestem x, så det samlede høstudbytte bliver størst muligt. Vejledende enkeltopgaver stx A December 2025 Side 111 af 157

Løsning med TI-Nspire

Nspire · Calculator1.1

›f(x) := 71 − 60·e^(−0.3·x^2)

→Done

Nspire · Calculator1.1

›g(x) := 73 − 60·e^(−4.5·x^2)

→Done

a) 1,5 tons på mark 1 og 0,5 tons på mark 2:

Nspire · Calculator1.1

›f(1.5) + g(0.5)

→≈ 93.97

tons

b) Samlet høstudbytte: h(x) = f(x) + g(2 − x), 0 ≤ x ≤ 2.

Nspire · Calculator1.1

›h(x) := f(x) + g(2 − x)

→Done

Nspire · Calculator1.1

›fMax(h(x), x, 0, 2)

→x ≈ 1.527

Nspire · Calculator1.1

›h(1.527)

→≈ 94.05

tons (maks. høst)

Svar

a) ≈ 93,97 tons. b) x ≈ 1,53 tons gødning på mark 1 giver maks. høst ≈ 94,05 tons.

6.D2.39Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Logistisk model · dødsfald i epidemi

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

6.D2.39— 1en model kan det samlede antal dødsfald i en bestemt epidemi beskrives ved modellen 683 O hvor f(x) angiver det samlede antal dødsfald x dage, efter epidemien blev opdaget. a) Bestem det samlede antal dødsfald 10 dage, efter epidemien blev opdaget. b) Hvor mange dage efter epidemien blev opdaget, voksede det samlede antal dødsfald hurtigst?

Løsning med TI-Nspire

Nspire · Calculator1.1

›f(x) := 683/(1 + 81.3·e^(−0.16·x))

→Done

a) Antal dødsfald efter 10 dage:

Nspire · Calculator1.1

›f(10)

→≈ 39.22

dødsfald

b) Vækstraten f′(x) er størst i vendepunktet (f′′(x) = 0):

Nspire · Calculator1.1

›solve(d^2/dx^2(f(x)) = 0, x)

→x ≈ 27.50

dage

Svar

a) ≈ 39 dødsfald. b) Hurtigste vækst efter ca. 27,5 dage.

6.D2.40Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Udtørring af sø · hurtigste fald

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

6.D2.40 . s v L BY J ha Billedkilde: NASA 1 en model for udtørringen af en bestemt sø kan den gennemsnitlige vanddybde i søen beskrives ved funktionen S)=0,083-(100—x)", 0<x<10, hvor f(x) betegner den gennemsnitlige vanddybde (målt i cm) til tiden x (målt i uger, efter at udtørringen begynder). a) Bestem den gennemsnitlige vanddybde i søen 5 uger, efter at udtørringen er begyndt. b) Bestem det tidspunkt, efter at udtørringen er begyndt, hvor den gennemsnitlige vanddybde aftager hurtigst.

Løsning med TI-Nspire

Nspire · Calculator1.1

›f(x) := 0.083·(100 − x^2)^1.5

→Done

a) Vanddybde efter 5 uger:

Nspire · Calculator1.1

›f(5)

→≈ 53.91

b) Vanddybden aftager hurtigst hvor f′(x) er mest negativ, dvs. f′′(x) = 0:

Nspire · Calculator1.1

›solve(d^2/dx^2(f(x)) = 0 and 0 < x < 10, x)

→x = 5·sqrt(2) ≈ 7.071

uger

Svar

a) f(5) ≈ 53,9 cm. b) Hurtigste fald ved x = 5√2 ≈ 7,07 uger.

6.D2.41Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Monotoniforhold og antal skæringer med y = k

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

6.D2.41 — En funktion f er givet ved fe)j=x-3x'+x+7. a) Benyt /'(x) til at bestemme monotoniforholdene for f. b) Bestem de værdier af tallet k, hvor grafen for f og linjen med ligningen y =k har netop to punkter fælles. Vejledende enkeltopgaver stx A December 2025 Side 112 af 157

Løsning med TI-Nspire

Nspire · Calculator1.1

›f(x) := x^3 − 3·x^2 + x + 7

→Done

Nspire · Calculator1.1

›solve(d/dx(f(x)) = 0, x)

→x = 1 − sqrt(6)/3 eller x = 1 + sqrt(6)/3

Nspire · Calculator1.1

›f(1 − sqrt(6)/3)

→≈ 8.089

lokalt maksimum

Nspire · Calculator1.1

›f(1 + sqrt(6)/3)

→≈ 5.911

lokalt minimum

a) f er voksende på (−∞, 1−√6/3] og [1+√6/3, ∞), aftagende imellem.

b) Linjen y = k har netop 2 skæringer med grafen når k er lig lokalt maksimum eller minimum.

Svar

b) k ≈ 5,91 eller k ≈ 8,09.

6.D2.42Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Monotoniforhold · funktion med kvadratrod og eksponential

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

6.D2.42 — En funktion fer givet ved fo)=5/xe", x20. a) Bestem monotoniforholdene for f ved hjælp af differentialregning, En anden funktion g er givet ved gl)=5/re"", x20, hvor O<a<l. b) Bestem tallet a, så g har maksimum, når x =3. Vejledende enkeltopgaver stx A December 2025 Side 113 af 157

Løsning med TI-Nspire

Nspire · Calculator1.1

›f(x) := 5·sqrt(x)·e^(−x)

→Done

Nspire · Calculator1.1

›solve(d/dx(f(x)) = 0 and x > 0, x)

→x = 1/2

a) f er voksende på (0, 1/2] og aftagende på [1/2, ∞).

Nspire · Calculator1.1

›g(x) := 5·sqrt(x)·e^(−a·x)

→Done

Nspire · Calculator1.1

›solve(d/dx(g(x)) = 0 and x = 3, a)

→a = 1/6

b) g har maksimum ved x = 3 når a = 1/6.

Svar

a) Voksende på (0; 0,5], aftagende på [0,5; ∞). b) a = 1/6.

Kapitel 7

Integralregning

Stamfunktioner, bestemte integraler, areal og omdrejningslegemer. D1 + D2.

Delprøve 1 — uden hjælpemidler

7.D1.1Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Ubestemt integral · eksp. og potens

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Integrér ledvis: ∫4e^x dx = 4e^x og ∫6x⁵ dx = x⁶.

Svar

∫(4e^x + 6x⁵) dx = 4e^x + x⁶ + k.

7.D1.2Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Ubestemt integral · indre lineær

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

∫3x⁵ dx = x⁶/2, ∫6e^2x dx = 3e^2x (da 6/2 = 3), og ∫1 dx = x.

Svar

∫(3x⁵ + 6e^2x + 1) dx = x⁶/2 + 3e^2x + x + k.

7.D1.3Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Ubestemt integral · 2/x + 4x − 5

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

∫(2/x) dx = 2·ln(x), ∫4x dx = 2x², ∫(−5) dx = −5x.

Svar

2·ln(x) + 2x² − 5x + k.

7.D1.4Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Ubestemt integral · 3x² + x − 4

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

∫3x² dx = x³, ∫x dx = x²/2, ∫(−4) dx = −4x.

Svar

x³ + x²/2 − 4x + k.

7.D1.5Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Integral · sin og ln

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

∫2·sin(x) dx = −2·cos(x).

Stamfunktion til ln(x) er x·ln(x) − x, så ∫3·ln(x) dx = 3x·ln(x) − 3x.

Svar

−2·cos(x) + 3x·ln(x) − 3x + k.

7.D1.6Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Integral · cos, √x og 2ˣ

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

∫(1/2)·cos(x) dx = (1/2)·sin(x).

∫6√x dx = 6·(2/3)x^3/2 = 4x^3/2.

∫2^x dx = 2^x/ln(2).

Svar

(1/2)·sin(x) + 4x^3/2 − 2^x/ln(2) + k.

7.D1.7Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Substitution · (ln x)²/x

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Sæt u = ln(x) ⇒ du = (1/x) dx.

Integralet bliver ∫u² du = u³/3 = (ln(x))³/3.

Svar

(ln(x))³ / 3 + k.

7.D1.8Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Substitution · 12x²(x³+7)³

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Sæt u = x³ + 7 ⇒ du = 3x² dx, dvs. 12x² dx = 4 du.

Integralet bliver ∫4u³ du = u⁴ = (x³ + 7)⁴.

Svar

(x³ + 7)⁴ + k.

7.D1.9Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Bestemt integral · polynomium

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Stamfunktion: F(x) = 2x³ + x².

F(3) − F(1) = (54 + 9) − (2 + 1) = 63 − 3 = 60.

Svar

∫₁³ (6x² + 2x) dx = 60.

7.D1.10Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Bestemt integral · substitution

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Sæt u = x/2 − 1 ⇒ du = dx/2, dvs. dx = 2 du. Grænser: x = 0 ⇒ u = −1, x = 2 ⇒ u = 0.

∫₋₁⁰ 8u³·2 du = 16·[u⁴/4]₋₁⁰ = 16·(0 − 1/4) = −4.

Svar

∫₀² 8·(x/2 − 1)³ dx = −4.

7.D1.11Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Stamfunktion · 6x² − 8x + 1/x

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

∫6x² dx = 2x³, ∫−8x dx = −4x², ∫(1/x) dx = ln(x) (x > 0).

Svar

F(x) = 2x³ − 4x² + ln(x) + k.

7.D1.12Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Vis at F er stamfunktion

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Differentiér F(x) = 3x² + 2x + 5: F′(x) = 6x + 2 = f(x). Da F′ = f, er F en stamfunktion til f.

Svar

F′(x) = 6x + 2 = f(x), så F er en stamfunktion til f.

7.D1.13Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Stamfunktion gennem givet punkt

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Generel stamfunktion: F(x) = x⁵/5 + x³ − 4x + k.

Krav: F(1) = 1/5 + 1 − 4 + k = 5 ⇒ k = 5 + 14/5 = 39/5.

Svar

F(x) = x⁵/5 + x³ − 4x + 39/5.

7.D1.14Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Stamfunktion med tangent l

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Hældningen i tangentpunktet er F′(x₀) = f(x₀) = −4: 6x₀ + 8 = −4 ⇒ x₀ = −2.

På linjen l: y(−2) = −4·(−2) − 5 = 3, så F(−2) = 3.

Generel: F(x) = 3x² + 8x + k. F(−2) = 12 − 16 + k = 3 ⇒ k = 7.

Svar

F(x) = 3x² + 8x + 7.

7.D1.15Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Areal via stamfunktionsværdier

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

M ligger over x-aksen fra x = −3 til x = 1, så areal(M) = ∫₋₃¹ f(x) dx = F(1) − F(−3) = 5 − (−15) = 20.

Svar

Areal af M = 20.

7.D1.16Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Areal mellem to grafer · tabelopslag

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

areal(M) = ∫₃⁶ (f − g) dx = (F(6) − G(6)) − (F(3) − G(3)) = (42 − 36) − (15 − 27) = 6 − (−12) = 18.

Svar

Areal af M = 18.

7.D1.17Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Areal og tangent

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

a) f er positiv fra x = 1 til x = 4 (jf. tabel f(1) = f(4) = 0). areal(M) = ∫₁⁴ f dx = F(4) − F(1) = 209 − 20 = 189.

b) Tangent i P(2, f(2)) = (2, 72) med hældning f′(2) = 60: y − 72 = 60(x − 2) ⇒ y = 60x − 48.

Svar

a) Areal(M) = 189. b) l: y = 60x − 48.

7.D1.18Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Areal aflæst som F(8) − F(2)

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

⚠️ Bilag ikke aflæst præcist

Tallene F(8) ≈ 21 og F(2) ≈ 9 er eksempler — jeg har ikke aflæst bilaget præcist. Aflæs selv de to værdier på grafen for stamfunktionen F.

M er afgrænset af f, x-aksen og linjerne x = 2 og x = 8:

areal(M) = ∫₂⁸ f(x) dx = F(8) − F(2)

Aflæs F(8) og F(2) på grafen for F og udregn differencen.

Svar

Areal(M) = F(8) − F(2) — værdierne aflæses på bilagets graf for F.

7.D1.19Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Bestemt integral fra arealfortegn

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

M ligger over x-aksen, N under. ∫₁⁷ f dx = areal(M) − areal(N) = 5/4 − 8 = −27/4.

Svar

∫₁⁷ f(x) dx = −27/4.

7.D1.20Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Areal og integral · M under, N over

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

M er under x-aksen, N over. ∫₋₃³ f dx = areal(N) − areal(M) = 27, dvs. areal(N) = 27 + 5 = 32.

Svar

Areal af N = 32.

7.D1.21Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Stamfunktion og areal · x² − 4x + 7

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

a) ∫f(x) dx = x³/3 − 2x² + 7x + k.

b) f er positiv på [0; 3]. areal(M) = [x³/3 − 2x² + 7x]₀³ = 9 − 18 + 21 = 12.

Svar

a) F(x) = x³/3 − 2x² + 7x + k. b) Areal(M) = 12.

7.D1.22Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Nulpunkter og areal i 4. kvadrant

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

a) x² + x − 2 = (x + 2)(x − 1) = 0 ⇒ x = −2 eller x = 1.

b) Området ligger under x-aksen mellem x = 0 og x = 1, så areal(M) = −∫₀¹ f dx = −[x³/3 + x²/2 − 2x]₀¹ = −(1/3 + 1/2 − 2) = 7/6.

Svar

a) x = −2 og x = 1. b) Areal(M) = 7/6.

7.D1.23Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Areal mellem parabel og linje

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

a) x² − 2x + 3 = 2x + 3 ⇒ x² − 4x = 0 ⇒ x = 0 eller x = 4.

b) g ligger over f på [0; 4]. areal(M) = ∫₀⁴ (4x − x²) dx = [2x² − x³/3]₀⁴ = 32 − 64/3 = 32/3.

Svar

a) x = 0 og x = 4. b) Areal(M) = 32/3.

7.D1.24Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Areal mellem parabel og linje

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

a) −x² + x = −x ⇒ x² − 2x = 0 ⇒ x = 0 eller x = 2.

b) f ligger over g på [0; 2]. areal(M) = ∫₀² (−x² + 2x) dx = [−x³/3 + x²]₀² = −8/3 + 4 = 4/3.

Svar

a) x = 0 og x = 2. b) Areal(M) = 4/3.

7.D1.25Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Areal mellem to parabler

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

a) −x² + x + 10 = x² − 3x + 4 ⇒ 2x² − 4x − 6 = 0 ⇒ x² − 2x − 3 = (x − 3)(x + 1) = 0 ⇒ x = −1 eller x = 3.

b) På [0; 3] ligger f over g. areal(M) = ∫₀³ (−2x² + 4x + 6) dx = [−2x³/3 + 2x² + 6x]₀³ = −18 + 18 + 18 = 18.

Svar

a) x = −1 og x = 3. b) Areal(M) = 18.

7.D1.26Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Bestem k så areal = 30

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

areal(M) = ∫₀ᵏ (2x + 1) dx = [x² + x]₀ᵏ = k² + k = 30. Løs k² + k − 30 = (k − 5)(k + 6) = 0 ⇒ k = 5 (k > 0).

Svar

k = 5.

7.D1.27Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Identificér f og F

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

F's lokale ekstrema ligger hvor f = 0. A's max ligger ca. ved x = 1,5; B's max ligger ved x ≈ 2,5 — altså forskudt ¼ periode mod højre. Integration forskyder en sinus mod højre, så B (rød) er stamfunktionen F, og A (blå) er f.

Svar

A er f, og B er F.

7.D1.28Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Bestem c så areal = 27

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

∫₁⁴ (−x² + 6x + c) dx = [−x³/3 + 3x² + cx]₁⁴ = (−64/3 + 48 + 4c) − (−1/3 + 3 + c) = −21 + 45 + 3c = 24 + 3c. Sæt = 27 ⇒ c = 1.

Svar

c = 1.

7.D1.29Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Omdrejningslegeme · bestem k

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

V = π·∫₀ᵏ (2√x)² dx = π·∫₀ᵏ 4x dx = π·[2x²]₀ᵏ = 2πk². Krav 2πk² = 50π ⇒ k² = 25 ⇒ k = 5 (k > 0).

Svar

k = 5.

Delprøve 2 — med TI-Nspire

7.D2.1Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Areal · CAS

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

7.D2.1— En funktion fer givet ved forskriften » is,5 såørlersltyst. S=3+ + Grafen for f afgrænser sammen med koordinatakserne et område M. Se figuren. a) Bestem arealet af området M. 1 ' x 1

Løsning med TI-Nspire

Find først den positive rod af f, derefter integralet fra 0 til denne rod.

Nspire · Calculator1.1

›f(x) := -x^3/3 + 2x^2/3 + 4x/3 + 1

→Done

Nspire · Calculator1.1

›solve(f(x)=0, x)

→x ≈ 3.428

den positive rod

Nspire · Calculator1.1

›integral(f(x), x, 0, 3.428)

→≈ 8.71

Areal(M)

Svar

Areal(M) ≈ 8,71.

7.D2.2Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Areal mellem to grafer · CAS

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

7.D2.2 — To funktioner fog g er givet ved y S= Y+ g(0)=-x+4x-2 Graferne for f og g afgrænser et ] å område M. Se figuren. 5 a) Bestem arealet af området M. 1 g

Løsning med TI-Nspire

Find skæringspunkterne; på det indesluttede interval er g ≥ f.

Nspire · Calculator1.1

›solve(f(x)=g(x), x)

→x₁ ≈ 0.77, x₂ ≈ 3.31

Nspire · Calculator1.1

›integral(g(x) - f(x), x, 0.77, 3.31)

→≈ 2.70

Svar

Areal(M) ≈ 2,70.

7.D2.3Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Skæringspunkter og samlet areal · CAS

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

7.D23 — To funktioner fog g er givet ved y S= Z+2 g x+3 g(0)=-'+51"—6x+3 Graferne for / og g afgrænser to områder M og N. Se figuren. a) Bestem x-koordinaterne til hvert af J skæringspunkterne mellem de to grafer. 1 b) Bestem det samlede areal af z områderne M og N. H , Vejledende enkeltopgaver stx A December 2025 Side 122 af 157

Løsning med TI-Nspire

Nspire · Calculator1.1

›solve(f(x)=g(x), x)

→x₁ ≈ 0.17, x₂ ≈ 1.80, x₃ ≈ 3.14

På [x₁; x₂] er f > g; på [x₂; x₃] er g > f.

Nspire · Calculator1.1

›integral(f(x)-g(x), x, 0.17, 1.80) + integral(g(x)-f(x), x, 1.80, 3.14)

→≈ 1.53 + 2.16 ≈ 3.69

Svar

a) x ≈ 0,17 · 1,80 · 3,14. b) Samlet areal ≈ 3,69.

7.D2.4Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Nulpunkter og deling af areal

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

7.D2.4 » y på S Figur I Figur2 En funktion f er givet ved forskriften fog=l+le-2x 868a 72 ; a) Bestem nulpunkterne for f. Grafen for / afgrænser sammen med x-aksen et område M i anden kvadrant. Se figur 1. Området M deles i to områder M, og M. af linjen med ligningen x =k , hvor -4<k<0. Se figur 2. a) Bestem tallet k, så arealet af M, er dobbelt så stort som arealet af M,.

Løsning med TI-Nspire

Nspire · Calculator1.1

›solve(f(x)=0, x)

→x = -4, x = 0, x = 2

Nspire · Calculator1.1

›integral(f(x), x, -4, 0)

→32/3 ≈ 10.667

Areal(M)

Kravet M₁ = 2·M₂ giver M₁ = (2/3)·M = 64/9.

Nspire · Calculator1.1

›solve(integral(f(x), x, -4, k) = 64/9, k)

→k ≈ -1.80

Svar

k ≈ −1,80.

7.D2.5Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Areal under ln · bestem k

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

7.D2.5 — En funktion fer givet ved forskriften y Sb)=2-nx), x>0. 1 første kvadrant afgrænser grafen for f Z sammen med x-aksen og linjen med ligningen x = k, hvor k >1, et område M. Se figuren. a) Bestem den værdi af , hvor arealet MF i af området M er lig 25. a Vejledende enkeltopgaver stx A December 2025 Side 123 af 157

Løsning med TI-Nspire

Nulpunkt for f: x = 1. Bestem k så arealet under f fra 1 til k er 25.

Nspire · Calculator1.1

›solve(integral(2*ln(x), x, 1, k) = 25, k)

→k ≈ 9.34

Svar

k ≈ 9,34.

7.D2.6Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Bestem c så areal = 9

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

7.D2.6 — En funktion fer givet ved forskriften y Sæ)=x'-8x+c, c<l6 f Grafen for / afgrænser sammen med a-aksen et område M. Se figuren. a) Bestem den værdi af tallet c, hvor " arealet af området M er lig 9.

Løsning med TI-Nspire

Find rødderne af parablen og opstil arealkravet:

Nspire · Calculator1.1

›solve(-x^2+8x-c=0, x)

→x = 4 ± sqrt(16-c)

Nspire · Calculator1.1

›solve(integral(-x^2+8x-c, x, 4-sqrt(16-c), 4+sqrt(16-c)) = 9, c)

→c ≈ 12.43

Svar

c ≈ 12,43.

7.D2.7Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Bestem a så areal = 5

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

7.D2.7 — To funktioner f og g er givet ved So)=-2x"+6x+4 g()=a-x-(x—3)+4, a>-2 Graferne for f og g afgrænser et område M. a) Bestem den værdi af tallet a, hvor arealet af M er lig med 5.

Løsning med TI-Nspire

Begge grafer går gennem (0, 4) og (3, 4); arealet mellem dem er en funktion af a.

Nspire · Calculator1.1

›solve(integral((2+a)*x*(3-x), x, 0, 3) = 5, a)

→a = -8/9

Svar

a = −8/9 ≈ −0,889.

7.D2.8Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Omdrejningslegeme · parabel

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

7.D2.8 — En funktion fer givet ved forskriften So)=-4x" +40x—64. Grafen for f afgrænser sammen med x-aksen et område M. Lad V være rumfanget af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når M drejes 360% om x-aksen. a) Bestem V. Vejledende enkeltopgaver stx A December 2025 Side 124 af 157

Løsning med TI-Nspire

Nspire · Calculator1.1

›solve(-4x^2+40x-64=0, x)

→x = 2, x = 8

Nspire · Calculator1.1

›π*integral((-4x^2+40x-64)^2, x, 2, 8)

→20736π/5 ≈ 13030

Svar

V = 20736π/5 ≈ 13 030.

7.D2.9Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Omdrejning mellem to grafer · skiveformel

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

7.D2.9 y | M x To funktioner f og g er givet ved Sl)=x" -6x+10 g(0)=-2x'+15x—8 Graferne for f og g afgrænser et område M. Se figuren, Lad V være rumfanget af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når M drejes 360% om x-aksen. a) Bestem V.

Løsning med TI-Nspire

Nspire · Calculator1.1

›solve(f(x)=g(x), x)

→x = 1, x = 6

Nspire · Calculator1.1

›π*integral(g(x)^2 - f(x)^2, x, 1, 6)

→1250π ≈ 3927

Svar

V = 1250π ≈ 3927.

7.D2.10Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Omdrejning af sinus · bestem k

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

7.D2.10 y B x x=k En funktion f er givet ved forskriften So)=sin(x)+5. Grafen for f afgrænser sammen med koordinatsystemets akser og linjen med ligningen x = k hvor k >0, et område M. Se figuren. Lad V være rumfanget af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når M drejes 360 om x-aksen. a) Bestem den værdi af k, hvor V=500. Vejledende enkeltopgaver stx A December 2025 Side 125 af 157

Løsning med TI-Nspire

Nspire · Calculator1.1

›nSolve(π*integral((sin(x)+5)^2, x, 0, k) = 500, k)

→k ≈ 6.24

Svar

k ≈ 6,24.

7.D2.11Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Omdrejning af parabel · bestem c

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

7.D2.11— En funktion fer givet ved forskriften y _/(x):fixz +5x+e, z J hvor c>-2. 2 Grafen for f afgrænser sammen med x-aksen et område M. Se figuren. Lad V være rumfanget af det omdrejnings- ; legeme, der fremkommer, når M drejes 360 om x-aksen. a) Bestem den værdi af c, hvor V =1000

Løsning med TI-Nspire

Nspire · Calculator1.1

›nSolve(π*integral(f(x)^2, x, 5-sqrt(25+2c), 5+sqrt(25+2c)) = 1000, c)

→c ≈ -4.00

Svar

c ≈ −4,00.

7.D2.12Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Buelængde · ln(x)·(4−x)

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

7.D2.12— En funktion fer givet ved forskriften y So)=Inlx):(4—x), x>0. f a) Bestem koordinatsættet til hvert af ; skæringspunkterne mellem grafen for f og x-aksen. x Længden Z af grafen for / i et interval [0:b] kan bestemmes ved formlen L:!" 1+ SGY dr. b) Bestem længden af grafen for f mellem de to skæringspunkter med x-aksen.

Løsning med TI-Nspire

Nspire · Calculator1.1

›solve(ln(x)*(4-x)=0, x)

→x = 1, x = 4

skæringer med x-aksen

Nspire · Calculator1.1

›f(x) := ln(x)*(4-x)

→Done

Nspire · Calculator1.1

›integral(sqrt(1 + (d/dx(f(x)))^2), x, 1, 4)

→≈ 4.35

buelængden L

Svar

a) (1, 0) og (4, 0). b) L ≈ 4,35.

7.D2.13Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Fitness-ring (torus)

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

7.D2.13— To funktioner f og g er givet ved forskrifterne y fG) =34+ J +20x—64 J g(x)=34-/—x" + 20x — 64 a) Bestem koordinatsættet til hvert af g skæringspunkterne mellem de to grafer. Graferne for / og g afgrænser i første kvadrant et område M. Se figuren. I en model har en bestemt fitness-ring form som det omdrejningslegeme, der fremkommer, når M drejes 360% om x-aksen. Enheden på begge akser er cm. b) Bestem rumfanget af fitness-ringen. x Vejledende enkeltopgaver stx A December 2025 Side 126 af 157

Løsning med TI-Nspire

Nspire · Calculator1.1

›solve(f(x)=g(x), x)

→x = 4, x = 16

røringspunkter

Nspire · Calculator1.1

›π*integral(f(x)^2 - g(x)^2, x, 4, 16)

→2448π² ≈ 24164

cm³

Svar

a) (4, 34) og (16, 34). b) V = 2448π² ≈ 24 164 cm³.

7.D2.14Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Glas som omdrejningslegeme

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

7.D2.14 e y - . ] l 1141 x 1. 11) 1 x=9 L Figur I Figur 2 To funktioner f og g er givet ved forskrifterne fo)=x"+2 g(x)=In(10x—3) Graferne for f og g afgrænser sammen med koordinatakserne og linjen med ligningen x=9 et område M. Se figur 1. På figur 2 ses et glas. I en model har glasset form som det omdrejningslegeme, der fremkommer, når området M drejes 360% om x-aksen. Enheden på akserne er cm. a) Bestem f(9)- g(9), og forklar, hvad dette tal fortæller om glasset. b) Bestem rumfanget af det materiale, som glasset er lavet af. e) Undersøg, om glasset kan indeholde 200 cm" vand. Vejledende enkeltopgaver stx A December 2025 Side 127 af 157

Løsning med TI-Nspire

Nspire · Calculator1.1

›f(9) - g(9)

→≈ 0.22

vægtykkelse i toppen, cm

Nspire · Calculator1.1

›solve(g(x)=0, x)

→x ≈ 0.4

bundgrænse for hulrum

Nspire · Calculator1.1

›π*integral(f(x)^2, x, 0, 9) - π*integral(g(x)^2, x, 0.4, 9)

→≈ 75.3

materialets rumfang, cm³

Nspire · Calculator1.1

›π*integral(g(x)^2, x, 0.4, 9)

→≈ 355

kapacitet, cm³ > 200

Svar

a) ≈ 0,22 cm. b) V ≈ 75,3 cm³. c) Ja — kapacitet ≈ 355 cm³.

7.D2.15Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Gennemsnitlig strømstyrke

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

7.D2.15 e E Billedkilde: pexels T en model kan strømstyrken i et elektrisk kredsløb beskrives ved en funktion f givet ved S()=2-sin(100m:x)+3, —0<x=0,05, hvor f(x) angiver strømstyrken (målt i ampére) til tidspunktet x (målt i sekunder efter den første måling). a) Tegn grafen for f. Den gennemsnitlige strømstyrke i kredsløbet i tidsrummet a <x<b kan beregnes ved formlen 1 b m=— x)dx. F ÅC b) Bestem den gennemsnitlige strømstyrke i kredsløbet i tidsrummet 0<x<0,05. Vejledende enkeltopgaver stx A December 2025 Side 128 af 157

Løsning med TI-Nspire

Menu → 6: Statistik → 1: Stat-beregninger (eller blot integral)

Nspire · Calculator1.1

›(1/0.05)*integral(2*sin(100*π*x)+3, x, 0, 0.05)

→≈ 3.25

middelværdi i A

Svar

m ≈ 3,25 A.

7.D2.16Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Den Spanske Syge · model

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

7.D2.16 P T ! - V u j i l'- F ' på, 4] V LE S g ESWØL VPRa FE 5 P % f:d = T ø : F l F Billedkilde: W. Schneider I efteråret 1918 blev Genéve hårdt ramt af influenzaepidemien ”Den Spanske Syge”. I en model kan den hastighed, som antallet af nye hospitalsindlagte steg med, beskrives ved 420 S= meæ, O£X70, 0,0069-x" —0,64 : x + 15,8 hvor (x) er hastigheden (målt i antal nye indlagte pr. døgn), og x er antal døgn efter epidemiens start a) Med hvilken hastighed steg antallet af hospitalsindlagte 5 døgn efter epidemiens start? b) Bestem _[”" S ()d, og forklar betydningen af dette tal. Vejledende enkeltopgaver stx A December 2025 Side 129 af 157

Løsning med TI-Nspire

Nspire · Calculator1.1

›f(x) := 420/(0.0069*x^2 - 0.64*x + 15.8)

→Done

Nspire · Calculator1.1

›f(5)

→≈ 32.9

nye indlagte pr. døgn på dag 5

Nspire · Calculator1.1

›integral(f(x), x, 0, 20)

→≈ 887

samlet antal nye indlagte i de første 20 døgn

Svar

a) f(5) ≈ 32,9 indlagte/døgn. b) ≈ 887 nye indlagte i de første 20 døgn.

Kapitel 8

Differentialligninger

Eksponentiel, forskudt eksponentiel og logistisk vækst — håndregning og deSolve på Nspire.

Delprøve 1 — uden hjælpemidler

8.D1.1Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Hældningsfelt · skitse

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Punktet (1, 3) ligger i hældningsfeltet. Følg pilenes retning fra (1, 3): omkring punktet er pilene cirka vandrette, og længere væk hælder de stejlere opad mod højre og nedad mod venstre. Tegn en blød kurve gennem (1, 3), der altid er tangent til pilene.

Svar

Skitsen tegnes på bilaget — kurven går gennem (1, 3) og følger pilenes retning.

8.D1.2Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Linjeelement

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Indsæt P(3, 2) i højresiden:

dy/dx = √(3⁴+19) / (2²+1) = √(81+19)/5 = √100/5 = 10/5 = 2.

Svar

Linjeelementet er (3, 2, 2) — hældningen i P er 2.

8.D1.3Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Tangent via differentialligning

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Hældningen i P(3, 6): y' = 6/3 − 4·3 + 2 = 2 − 12 + 2 = −8.

Tangent: y = −8(x − 3) + 6 = −8x + 30.

Svar

y = −8x + 30.

8.D1.4Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Tangent · find f(1)

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Hældning 10 i P(1, f(1)) giver 4·1 − 3·f(1) = 10, dvs. f(1) = −2.

Tangent: y = 10(x − 1) − 2 = 10x − 12.

Svar

y = 10x − 12.

8.D1.5Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Hældning i punkter på graf

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

a) y = 2: y' = 7·2 − 2² = 14 − 4 = 10.

b) Løs 7y − y² = 10 ⇔ y² − 7y + 10 = 0 ⇒ y = 5 eller y = 2.

Svar

a) Hældningen er 10. b) y = 2 og y = 5.

8.D1.6Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Eksponentiel vækst

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

a) y'(0) = −2·3 = −6. Linjeelement (0, 3, −6) — grafen aftager stejlt i P.

b) y' = −2y har løsning y = c·e^−2x. f(0) = 3 ⇒ c = 3.

Svar

a) Linjeelement (0, 3, −6), aftagende. b) f(x) = 3·e^−2x.

8.D1.7Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Forskudt eksponentiel vækst

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

a) y'(1) = 16 − 2·3 = 10.

b) Ligevægt: 16 − 2y = 0 ⇒ y = 8. Generel løsning y = 8 + c·e^−2x. f(1) = 3 ⇒ c·e⁻² = −5 ⇒ c = −5e².

Svar

a) Hældning 10. b) f(x) = 8 − 5·e^−2(x−1).

8.D1.8Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Forskudt eksp. · tangent og forskrift

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

a) y'(0) = −10 − ½·20 = −20. Tangent: y = −20x + 20.

b) Ligevægt: −10 − ½y = 0 ⇒ y = −20. y = −20 + c·e^−x/2. f(0) = 20 ⇒ c = 40.

Svar

a) y = −20x + 20. b) f(x) = −20 + 40·e^−x/2.

8.D1.9Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Logistisk vækst

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

a) y'(0) = 0,02·5·(10 − 5) = 0,5. Linjeelement (0, 5, 0,5).

b) Logistisk med M = 10 og a = 0,02·10 = 0,2. f(x) = 10/(1 + c·e^−0,2x). f(0) = 5 ⇒ c = 1.

Svar

a) Linjeelement (0, 5, 0,5). b) f(x) = 10/(1 + e^−0,2x).

8.D1.10Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Logistisk · bestem konstant

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

a) Linjeelement (0, 2, 4) betyder y'(0) = 4, så a·2·(6 − 2) = 4 ⇒ 8a = 4 ⇒ a = ½.

b) M = 6, k = ½·6 = 3. f(x) = 6/(1 + c·e^−3x). f(0) = 2 ⇒ c = 2.

Svar

a) a = ½. b) f(x) = 6/(1 + 2·e^−3x).

8.D1.11Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Verifikation af løsning

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Differentier: f'(x) = 3x² − 6x + 5, som er præcis højresiden af ligningen. Altså opfylder f ligningen.

Svar

Ja, f er en løsning.

8.D1.12Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Verifikation af løsning

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

f'(x) = −e^−x + 3x² − 6x + 6.

Højresiden: x³ − f(x) + 6 = x³ − (e^−x + x³ − 3x² + 6x) + 6 = −e^−x + 3x² − 6x + 6. ✓

Svar

Ja, f er en løsning.

8.D1.13Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Verifikation af løsning

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

f'(x) = 3x² − 2x.

Højresiden: (3f(x) − 6)/x = (3x³ − 3x²)/x = 3x² − 3x.

3x² − 2x ≠ 3x² − 3x, så f er ikke en løsning.

Svar

Nej, f er ikke en løsning.

8.D1.14Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Verifikation af løsning

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

f'(x) = ln(x) + 1 + 3x².

Højresiden: f(x)/x + 2x² + 1 = ln(x) + x² + 2x² + 1 = ln(x) + 3x² + 1. ✓

Svar

Ja, f er en løsning.

8.D1.15Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Verifikation af løsning

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

f'(x) = 2x/√(2x² + 1).

f(x)·f'(x) = √(2x² + 1) · 2x/√(2x² + 1) = 2x.

Højresiden er x, så 2x ≠ x.

Svar

Nej, f er ikke en løsning.

8.D1.16Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Forskudt eksp. · strømstyrke

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

a) I'(t) = 6 − 2·1,3 = 3,4 A/s.

b) Ligevægt: 6 − 2I = 0 ⇒ I = 3. I(t) = 3 + c·e^−2t. I(0) = 0 ⇒ c = −3.

Svar

a) 3,4 A/s. b) I(t) = 3 − 3·e^−2t.

8.D1.17Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Opstil differentialligning · logistisk

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Væksthastighed = proportionalitet · y · (600 − y) med konstanten 0,0011.

Svar

dy/dx = 0,0011·y·(600 − y).

8.D1.18Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Opstil differentialligning

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Hastigheden er proportional med √h; væskehøjden aftager, så fortegnet er negativt.

Svar

dh/dt = −0,0031·√h.

Delprøve 2 — med TI-Nspire

8.D2.1Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Separabel / integration

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

8.D2.1— En funktion fer løsning til differentialligningen y-4re". Grafen for f går gennem punktet P(0,1) . a) Bestem en forskrift for f.

Løsning med TI-Nspire

Da højresiden kun afhænger af x, integrér direkte med begyndelsesbetingelse.

Menu → 4: Calculus → C: Diff. Eq. Solver (deSolve)

Nspire · Calculator1.1

›deSolve(y' = 4*x^3*e^(-x) and y(0) = 1, x, y)

→y = 25 − e^(−x)·(4x³ + 12x² + 24x + 24)

Svar

f(x) = 25 − e^(−x)·(4x³ + 12x² + 24x + 24).

8.D2.2Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Lineær 1. ordens

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

8.D22 — En funktion fer løsning til differentialligningen y=y+6.0—4.0, hvor f()=2. a) Bestem en forskrift for f. b) Bestem monotoniforholdene for '.

Løsning med TI-Nspire

Nspire · Calculator1.1

›deSolve(y' = y + 6*x^2 − 4*x^3 and y(1) = 2, x, y)

→y = 4x³ + 6x² + 12x + 12 − 32·e^(x−1)

Nspire · Calculator1.1

›f(x) := 4x^3 + 6x^2 + 12x + 12 − 32*e^(x-1)

→Done

Nspire · Calculator1.1

›solve(d/dx(d/dx(f(x))) = 0, x)

→x ≈ 0.943

vendepunkt for f'

Svar

a) f(x) = 4x³ + 6x² + 12x + 12 − 32·e^(x−1). b) f' aftager for x < 0,943 og vokser for x > 0,943.

8.D2.3Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Lineær 1. ordens · minimum

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

8$.D2.3 — En differentialligning er givet ved d ; Pixzyse, e a) Bestem en forskrift for den løsning f til differentialligningen, hvis graf går gennem punktet P(2,3). b) Bestem minimum for /

Løsning med TI-Nspire

Nspire · Calculator1.1

›deSolve(y' = y + x^3 − x and y(2) = 3, x, y)

→y = 38·e^(x−2) − x³ − 3x² − 5x − 5

Nspire · Calculator1.1

›f(x) := 38*e^(x-2) − x^3 − 3x^2 − 5x − 5

→Done

Nspire · Calculator1.1

›solve(d/dx(f(x)) = 0, x)

→x ≈ -1.55

Nspire · Calculator1.1

›f(-1.55)

→≈ 0.01

minimum

Svar

a) f(x) = 38·e^(x−2) − x³ − 3x² − 5x − 5. b) Minimum ≈ 0,01 ved x ≈ −1,55.

8.D2.4Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Gompertz-lignende

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

8.D2.4 — 1en model kan udviklingen i antallet af individer fra en bestemt årgang af en population beskrives ved differentialligningen a. —0,00081.e""% .P a hvor P(1) er antallet af individer fra årgangen år efter den første optælling. Efter 20 år er der 1120 individer fra årgangen tilbage i populationen. a) Bestem væksthastigheden for antallet af individer til dette tidspunkt. b) Bestem en forskrift for P. Vejledende enkeltopgaver stx A December 2025 Side 135 af 157

Løsning med TI-Nspire

Nspire · Calculator1.1

›-0.00081*e^(0.084*20)*1120

→≈ -4.87

P'(20) individer/år

Nspire · Calculator1.1

›deSolve(p' = -0.00081*e^(0.084*t)*p and p(20) = 1120, t, p)

→p ≈ 1179.4·exp(−0.00964·e^(0.084t))

Svar

a) ≈ −4,87 individer/år. b) P(t) ≈ 1179,4·exp(−0,00964·e^(0,084t)).

8.D2.5Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Lineær med eksp. led

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

8.D2.5 — I en model kan udviklingen i antallet af fugle i et bestemt område beskrives ved differentialligningen M=0,03:N—-0,L hvor N(1) er antallet af fugle i området (målt i tusinde) t år efter 1995. Det oplyses, at der i 2010 var 7,3 tusinde fugle i området. a) Bestem en forskrift for N. b) Bestem det år, hvor der ifølge modellen er flest fugle i området.

Løsning med TI-Nspire

Nspire · Calculator1.1

›deSolve(n' = 0.03*n − 0.1*e^(0.05*t) and n(15) = 7.3, t, n)

→n ≈ 5·e^(0.05t) − 2.87·e^(0.03t)

Nspire · Calculator1.1

›n(t) := 5*e^(0.05*t) − 2.87*e^(0.03*t)

→Done

Nspire · Calculator1.1

›solve(d/dt(n(t)) = 0, t)

→t ≈ 27.2

år efter 1995 ⇒ 2022

Svar

a) N(t) ≈ 5·e^(0,05t) − 2,87·e^(0,03t). b) Flest fugle i år 2022.

8.D2.6Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Gompertz · biomasse

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

8.D2.6 % | EL ] Elcdklldc klpcd»n I en model kan mængden af biomasse i et område efter en skovbrand beskrives ved differentialligningen y :U.Dä-yvln[g), y hvor y = f(1) er biomassen (målt i ton/hektar) I år efter skovbranden, hvor 0<!<18. Det oplyses, at S(0) =5. a) Bestem væksthastigheden af biomassen til tidspunktet / =0. b) Bestem biomassen, når væksthastigheden er 4 ton/hektar pr. år. 0) Bestem en forskrift for f. Vejledende enkeltopgaver stx A December 2025 Side 136 af 157

Løsning med TI-Nspire

Nspire · Calculator1.1

›0.08*5*ln(350/5)

→≈ 1.70

y'(0) ton/ha/år

Nspire · Calculator1.1

›solve(0.08*y*ln(350/y) = 4, y)

→y ≈ 13.5 eller y ≈ 252.1

Nspire · Calculator1.1

›deSolve(y' = 0.08*y*ln(350/y) and y(0) = 5, t, y)

→y = 350·exp(−4.248·e^(−0.08t))

Svar

a) ≈ 1,70 ton/ha/år. b) y ≈ 13,5 eller 252,1 ton/ha. c) f(t) = 350·exp(−4,248·e^(−0,08t)).

8.D2.7Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Logistisk · gravhund

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

8.D2.7 Billedkilde: Wikipedia I en model kan udviklingen i vægten af en bestemt gravhund beskrives ved differentialligningen y =0,0095-y-(11—9), hvor y= f(x)er hundens vægt i kg x uger efter fødslen. Hundens vægt 6 uger efter fødslen er 1,9 kg. a) Bestem en forskrift for f. b) Hvor meget vejer hunden ifølge modellen, når dens vægt vokser hurtigst? Det oplyses, at hundens maksimale vægt er 1] kg. c) Hvor gammel er hunden, når den vejer 75 % af sin maksimale vægt?

Løsning med TI-Nspire

Nspire · Calculator1.1

›deSolve(y' = 0.0095*y*(11 − y) and y(6) = 1.9, x, y)

→y = 11/(1 + 8.97·e^(−0.1045x))

Hurtigst vækst ved y = M/2 = 5,5 kg.

Nspire · Calculator1.1

›solve(11/(1 + 8.97*e^(-0.1045*x)) = 8.25, x)

→x ≈ 31.5

uger til 75% af M

Svar

a) f(x) = 11/(1 + 8,97·e^(−0,1045x)). b) 5,5 kg. c) ca. 31,5 uger.

8.D2.8Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Logistisk · hvalbestand

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

8.D2.8 = < -- Billedkilde: Wikipedia I en model kan udviklingen i bestanden af hvidhvaler i et bestemt arktisk fjordområde beskrives ved differentialligningen %:u,noousry2 —0,04-y , hvor y= f(x) er antallet af hvidhvaler i fjordområdet x år, efter registreringen af bestanden begyndte. Da registreringen begyndte, var der 500 hvaler i fjordområdet. a) Med hvilken hastighed aftog antallet af hvidhvaler i fjordområdet, da registreringen begyndte? b) Bestem antallet af hvidhvaler i fjordområdet efter 10 år. Vejledende enkeltopgaver stx A December 2025 Side 137 af 157

Løsning med TI-Nspire

Nspire · Calculator1.1

›0.000057*500^2 − 0.04*500

→-5.75

f'(0) hvaler/år

Nspire · Calculator1.1

›deSolve(y' = 0.000057*y^2 − 0.04*y and y(0) = 500, x, y)

→y = f(x)

Nspire · Calculator1.1

›f(10)

→≈ 386

hvaler efter 10 år

Svar

a) aftog med ca. 5,75 hvaler/år. b) ca. 386 hvaler.

8.D2.9Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Logistisk · bestem a

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

; - (Y Billedkilde: Wikipedia I en model kan udviklingen i antallet af bladlus på en bestemt rosenbusk beskrives ved differentialligningen y=a-y-1200—)), hvor a er en konstant, y = f(x) er antallet af bladlus på rosenbusken, og x er antal døgn, efter at optællingen begyndte. Efter 30 døgn er der 460 bladlus på rosenbusken Efter 50 døgn er der 780 bladlus på rosenbusken. a) Bestem en forskrift for f. b) Bestem de to tidspunkter, hvor antallet af bladlus vokser med 15 bladlus pr. døgn.

Løsning med TI-Nspire

Nspire · Calculator1.1

›solve({1200/(1+c*e^(-1200*a*30)) = 460, 1200/(1+c*e^(-1200*a*50)) = 780}, {a, c})

→a ≈ 0.0000725, c ≈ 24.9

Nspire · Calculator1.1

›f(x) := 1200/(1 + 24.9*e^(-0.087*x))

→Done

Nspire · Calculator1.1

›solve(d/dx(f(x)) = 15, x)

→x ≈ 21.4 eller x ≈ 78.4

døgn

Svar

a) f(x) = 1200/(1 + 24,9·e^(−0,087x)). b) ca. x ≈ 21 og x ≈ 78 døgn.

8.D2.10Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Logistisk · rygtespredning

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

8.D2.10— 1en model for spredningen af et rygte blandt 600 elever på et gymnasium er antallet af elever, der har hørt rygtet, givet ved differentialligningen & Ø =k-y-(600—), q y »” hvor y= f (1) er antallet af elever, der har hørt rygtet til tiden ? (målt i minutter), efter at rygtet opstod, og k er en konstant. Det oplyses, at f(0)=3 og f(60)=400. a) Bestem en forskrift for f. b) Hvor mange minutter går der ifølge modellen, før 90 % af eleverne har hørt rygtet? Vejledende enkeltopgaver stx A December 2025 Side 138 af 157

Løsning med TI-Nspire

Skabelon: f(t) = 600/(1 + c·e^(−600·k·t)). f(0)=3 ⇒ c = 199.

Nspire · Calculator1.1

›solve(600/(1 + 199*e^(-600*k*60)) = 400, k)

→k ≈ 0.000178

Nspire · Calculator1.1

›solve(600/(1 + 199*e^(-0.107*t)) = 540, t)

→t ≈ 79

minutter til 90% af M

Svar

a) f(t) = 600/(1 + 199·e^(−0,107t)). b) ca. 79 minutter.

8.D2.11Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Forskudt eksp. · afkøling

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

8$.D2.11— En kold vinternat går fyret i et hus ud. I en model kan temperaturen inde i huset beskrives ved differentialligningen y'=-0,225—0,075-y, hvor y= f(x) betegner temperaturen inde i huset (målt i "C), og x er tiden (målt i timer), efter fyret gik ud. a) Bestem væksthastigheden for temperaturen inde i huset, når temperaturen 5æ Det oplyses, at til tidspunktet x =0 er væksthastigheden for temperaturen inde i huset —1,7%C pr. time. b) Bestem en forskrift for f.

Løsning med TI-Nspire

Nspire · Calculator1.1

›-0.225 − 0.075*15

→-1.35

y'(15) °C/time

Nspire · Calculator1.1

›solve(-0.225 − 0.075*f0 = -1.7, f0)

→f0 ≈ 19.67

starttemperatur °C

Nspire · Calculator1.1

›deSolve(y' = -0.225 − 0.075*y and y(0) = 19.67, x, y)

→y = -3 + 22.67·e^(-0.075*x)

Svar

a) −1,35 °C/time. b) f(x) = −3 + 22,67·e^(−0,075x).

8.D2.12Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Forskudt eksp. · faldende kugle

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

8$.D2.12— En lille metalkugle slippes fra overfladen af en høj beholder med olie og falder lodret ned gennem olien. I en model kan den hastighed, hvormed kuglen bevæger sig ned gennem olien, beskrives ved differentialligningen V) =9,8-k-r0), hvor (t) er kuglens hastighed (målt i meter pr. sekund) til tiden / (målt i sekunder, efter kuglen blev sluppet), og Æ er en konstant, hvor >5. Det oplyses, at v0)=0 og w0,2)=0,3 a) Bestem en forskrift for . Kuglens lodrette afstand fra overfladen af olien er givet ved funktionen s , hvor s er en stamfunktion til v Der gælder, at s(0)=0. b) Bestem kuglens lodrette afstand fra overfladen efter ] sekund. Vejledende enkeltopgaver stx A December 2025 Side 139 af 157

Løsning med TI-Nspire

Nspire · Calculator1.1

›deSolve(v' = 9.8 − k*v and v(0) = 0, t, v)

→v = (9.8/k)*(1 − e^(-k*t))

Nspire · Calculator1.1

›solve((9.8/k)*(1 − e^(-k*0.2)) = 0.3, k)

→k ≈ 6.84

Nspire · Calculator1.1

›integral((9.8/6.84)*(1 − e^(-6.84*t)), t, 0, 1)

→≈ 1.29

strækning s(1) i meter

Svar

a) v(t) ≈ 1,43·(1 − e^(−6,84t)). b) s(1) ≈ 1,29 m.

Kapitel 9

Kombinatorik & sandsynlighedsregning

Tællemetoder, binomial- og normalfordeling, konfidensintervaller og χ²-test.

Delprøve 1 — uden hjælpemidler

9.D1.1Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Multiplikationsprincippet

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Antal valg = 3 · 2 · 5 = 30.

Svar

30 måder.

9.D1.2Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Kombinationer K(10,5)

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

K(10,5) = 10!/(5!·5!) = 252.

Svar

252 måder.

9.D1.3Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Kombinationer K(9,4)

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

K(9,4) = 9·8·7·6/24 = 126.

Svar

126 måder.

9.D1.4Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Uafhængige hændelser

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

P(rød=6) · P(hvid lige) = 1/6 · 3/6 = 1/12.

Svar

1/12.

9.D1.5Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Uafhængige hændelser

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Venstre bunke: 5 spar-kort (10, J, Q, K, A) — 1 er spar es: P = 1/5.

Højre bunke: 9, 8, 7, 6, 5 — kortene mindre end 7 er 6 og 5, dvs. 2 ud af 5: P = 2/5.

Hændelserne er uafhængige (kort fra hver sin bunke):

P = 1/5 · 2/5 = 2/25 = 0,08

Svar

2/25 = 0,08.

9.D1.6Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Uafhængige hændelser

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

P(rød) · P(gul) = 2/10 · 3/5 = 6/50 = 3/25 = 0,12.

Svar

3/25 = 0,12.

9.D1.7Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Uafhængige hændelser

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

P(G,G,R) = 0,7 · 0,7 · 0,1 = 0,049.

Svar

0,049.

9.D1.8Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Hypergeometrisk

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

K(4,3)/K(9,3) = 4/84 = 1/21.

Svar

1/21.

9.D1.9Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Hypergeometrisk

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

K(6,4)/K(10,4) = 15/210 = 1/14.

Svar

1/14.

9.D1.10Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Sandsynlighedstabel

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

a) Summen er 1: p = 1 − (0,10+0,15+0,25+0,10+0,05) = 0,35.

b) P(X ≤ 3) = 0,10+0,15+0,25+0,10 = 0,60.

Svar

a) p = 0,35. b) P(X≤3) = 0,60.

9.D1.11Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Middelværdi

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

μ = 1·0,1 + 2·0,3 + 3·0,15 + 4·0,25 + 5·0,2 = 0,1+0,6+0,45+1+1 = 3,15.

Svar

μ = 3,15.

9.D1.12Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Binomial · μ og σ

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

μ = n·p = 40·0,5 = 20. σ = √(n·p·(1−p)) = √(40·0,25) = √10.

Svar

μ = 20, σ = √10.

9.D1.13Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Normal · 2σ-regel

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

14 = 19 − 2·2,5 og 24 = 19 + 2·2,5. Tommelfingerregel: P(μ−2σ ≤ X ≤ μ+2σ) ≈ 0,9545.

Svar

ca. 0,9545.

9.D1.14Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Normal · σ-regler

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

21 = μ − σ, 30 = μ + 2σ. P(−σ ≤ X−μ ≤ 2σ) = Φ(2) − Φ(−1) ≈ 0,9772 − 0,1587 = 0,8185.

Svar

ca. 0,8185.

9.D1.15Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Normal · uegentligt integral

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Integralet er P(X ≥ 80) for X ~ N(116, 18). 80 = 116 − 2·18 = μ − 2σ, så P(X ≥ 80) = 1 − Φ(−2) = Φ(2) ≈ 0,9772.

Svar

ca. 0,9772.

9.D1.16Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Opstil integral

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Sandsynligheden er P(55 ≤ X ≤ 65) = ∫₅₅⁶⁵ 1/(4·√(2π)) · e^{−½((x−60)/4)²} dx.

Svar

∫₅₅⁶⁵ 1/(4√(2π))·e^{−½((x−60)/4)²} dx.

9.D1.17Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Opstil integral

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

P(X ≥ 85) = ∫₈₅^∞ 1/(16√(2π)) · e^{−½((x−100)/16)²} dx.

Svar

∫₈₅^∞ 1/(16√(2π))·e^{−½((x−100)/16)²} dx.

9.D1.18Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Argumentation om σ

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Hvis σ = 4, så svarer intervallet [9, 17] til μ ± σ, og P(μ−σ ≤ X ≤ μ+σ) ≈ 0,6827.

Men det er opgivet at ∫₉¹⁷ f(x) dx = 0,8, og 0,8 ≠ 0,6827. Altså kan σ ikke være 4.

Svar

Da P(μ±σ) ≈ 0,68 ≠ 0,8, er σ ≠ 4.

9.D1.19Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Fordelingsfunktion · aflæs

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

⚠️ Bilag ikke aflæst præcist

Værdien μ ≈ 8 er et eksempel — jeg har ikke aflæst bilaget præcist. Find selv x på bilaget, hvor F(x) = 0,5; det er middelværdien.

a) Middelværdien aflæses som det x, hvor F(x) = 0,5 (medianen, som for en normalfordeling er lig middelværdien).

b) For en normalfordeling er P(X ≥ μ) = 1 − F(μ) = 1 − 0,5 = 0,5.

Svar

a) μ aflæses som x-værdien hvor F = 0,5. b) P(X ≥ μ) = 0,5.

9.D1.20Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Fordelingsfunktion · aflæs

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

⚠️ Bilag ikke aflæst præcist

Tallene μ ≈ 5, F(4) ≈ 0,35 og F(7) ≈ 0,84 er eksempler — jeg har ikke aflæst bilaget præcist. Brug metoden nedenfor på det faktiske bilag.

a) μ er det x, hvor F(μ) = 0,5 — aflæses grafisk.

b) P(4 ≤ X ≤ 7) = F(7) − F(4). Aflæs begge værdier på bilaget og udregn differencen.

Svar

a) μ aflæses ved F = 0,5. b) P(4 ≤ X ≤ 7) = F(7) − F(4) — værdier fra bilaget.

9.D1.21Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Fordelingsfunktion · bestem k

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

P(12 ≤ X ≤ k) = F(k) − F(12) = 0,3. Aflæs F(12) på bilaget; løs F(k) = F(12) + 0,3 og aflæs k grafisk.

Svar

k aflæses, så F(k) = F(12) + 0,3.

9.D1.22Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Fordelingsfunktion · vurder påstande

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

⚠️ Bilag ikke aflæst præcist

Værdierne μ ≈ 10 og σ ≈ 2 er eksempler. Brug metoden på det faktiske bilag for at vurdere påstandene.

1) μ findes ved at aflæse det x, hvor F(x) = 0,5. Sammenlign med den påstand der vurderes.

2) σ aflæses som afstanden fra μ til det x, hvor F(x) = 0,8413 (svarende til μ + σ i en normalfordeling).

Svar

Begge påstande vurderes ved aflæsning af μ (ved F = 0,5) og σ (ved F = 0,8413) på bilaget.

9.D1.23Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Punkt på fordelingsfunktion

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

x = 4 = μ − σ (da μ = 7, σ = 3). F(4) = Φ(−1) ≈ 0,1587.

Svar

P ≈ (4; 0,16).

9.D1.24Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Sammenlign normalfordelinger

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

Begge kurver passerer 0,5 ved samme x → samme middelværdi: påstand 1 sand.

Kurve A er stejlere end B, hvilket betyder A har mindre spredning end B → påstand 2 er falsk.

Svar

1) Sand. 2) Falsk.

9.D1.25Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Identificér tæthedsfunktioner

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

X₁: μ=7, σ=3; X₂: μ=10, σ=3; X₃: μ=10, σ=2 (steilest cdf).

A ligger længst til venstre → X₁. C er steilest → X₃. B tilbage → X₂.

Svar

A↔X₁, B↔X₂, C↔X₃.

9.D1.26Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Identificér tæthedsfunktioner

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

f: μ=14, σ=3 (bred, lav top); g: μ=14, σ=1 (smal, høj top); h: μ=18, σ=2.

På figur: A er lav og bred ved x≈14 → f. B er smal og høj ved x≈14 → g. C har top ved x≈18 → h.

Svar

A↔f, B↔g, C↔h.

9.D1.27Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Areal under tæthed = sandsynlighed

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

6,4 = 5 + 1·1,4 = μ + σ og 7,8 = 5 + 2·1,4 = μ + 2σ.

Areal = P(μ+σ ≤ X ≤ μ+2σ) = Φ(2) − Φ(1) ≈ 0,9772 − 0,8413 = 0,1359.

Svar

ca. 0,1359.

9.D1.28Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Symmetri om μ

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

μ = 42 → P(X ≤ 42) = 0,5. P(42 ≤ X ≤ 46) = 0,28.

P(X ≤ 46) = 0,5 + 0,28 = 0,78.

Svar

0,78.

9.D1.29Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Aflæsning af tæthedsfunktion

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

⚠️ Bilag ikke aflæst præcist

Tallet μ_A ≈ 500 g er et eksempel — jeg har ikke aflæst bilaget præcist. Aflæs selv toppunktet for tæthedsfunktionen for A.

a) Middelværdien for en normalfordeling er x-koordinaten af tæthedsfunktionens toppunkt — aflæs på bilaget.

b) Den maskine hvis kurve er bredest, har den største spredning σ; det er den maskine hvis poser varierer mest i vægt.

Svar

a) μ_A aflæses som x-koordinaten af toppunktet for A's kurve. b) Maskinen med den bredeste kurve har størst spredning.

9.D1.30Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Normalfordeling · ±σ

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

85 = 92 − 7 = μ − σ. P(X ≤ 85) = Φ(−1) ≈ 0,1587.

Ca. 16% af pacemakerne har en levetid på højst 85 måneder.

Svar

P(X ≤ 85) ≈ 0,16. Ca. 16% af pacemakerne holder højst 85 mdr.

9.D1.31Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Fordelingsfunktion · ±σ

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

69 = 76 − 7 = μ − σ, så F(69) = Φ(−1) ≈ 0,1587.

Ca. 16% af eleverne får højst 69 point i matematiktesten.

Svar

F(69) ≈ 0,16 — 16% scorer højst 69.

9.D1.32Delprøve 1 · uden hjælpemidler· Tolkning af integral

Opgave (officiel ordlyd)

Løsning (håndregning)

∫₆₀⁹⁰ f(x) dx = P(60 ≤ X ≤ 90) = 0,81.

81% af opkaldene til bankens hotline har en ventetid mellem 60 og 90 sekunder.

Svar

81% af opkaldene har ventetid mellem 60 og 90 sek.

Delprøve 2 — med TI-Nspire

9.D2.1Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Uafhængige kast

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

9.D2.1— Lars har en almindelig 6-sidet terning, hvor hver af de 6 sider har samme sandsynlighed. Han kaster terningen tre gange. a) Er sandsynligheden for, at terningen i første kast viser en 6'er, og at den i de 1o næste kast ikke viser en 3'er, mindre end 10 %?

Løsning med TI-Nspire

De tre kast er uafhængige, så P(rød først, derefter ikke-rød × 2):

Nspire · Calculator1.1

›(1/6)*(5/6)^2

→25/216 ≈ 0.1157

11,57 % > 10 %, så svaret er nej.

Svar

Nej — sandsynligheden er ca. 11,6 %.

9.D2.2Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Hypergeometrisk

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

9.D2.2 I en virksomhed er der 11 personer ansat. 6 af dem er kvinder, og 5 af dem er mænd. Der skal dannes en arbejdsgruppe på 5 personer. a) Hvad er sandsynligheden for, at arbejdsgruppen kun består af kvinder?

Løsning med TI-Nspire

Nspire · Calculator1.1

›nCr(6,5)/nCr(11,5)

→6/462 = 1/77 ≈ 0.0130

Svar

ca. 0,013.

9.D2.3Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Binomial · μ og σ

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

9.D2.3 — En stokastisk variabel X er binomialfordelt med antalsparameter n=650 og sandsynlighedsparameter p=0,17. a) Bestem middelværdien // og spredning & af X.

Løsning med TI-Nspire

Nspire · Calculator1.1

›650*0.17

→μ = 110.5

Nspire · Calculator1.1

›sqrt(650*0.17*0.83)

→σ ≈ 9.58

Svar

μ = 110,5; σ ≈ 9,58.

9.D2.4Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Binomial · interval

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

9.D2.4— En stokastisk variabel X er binomialfordelt med antalsparameter n =80 og 1 sandsynlighedsparameter p=7. a) Bestem P(15< X <20).

Løsning med TI-Nspire

Menu → 6: Statistik → 5: Fordelinger → C: Binomial CDF

Nspire · Calculator1.1

›binomCdf(80, 0.25, 15, 20)

→≈ 0.4738

Svar

ca. 0,474.

9.D2.5Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Binomial · punkt og hale

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

9.D2.5 — En stokastisk variabel X er binomialfordelt med antalsparameter = 600 og sandsynlighedsparameter p=0,32 . a) Bestem P(X =180). b) Bestem P(X > 200). Vejledende enkeltopgaver stx A December 2025 Side 150 af 157

Løsning med TI-Nspire

Nspire · Calculator1.1

›binomPdf(600, 0.32, 180)

→≈ 0.0203

P(X = 180)

Nspire · Calculator1.1

›1 − binomCdf(600, 0.32, 0, 200)

→≈ 0.2278

P(X > 200)

Svar

a) ≈ 0,0203. b) ≈ 0,228.

9.D2.6Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Binomial · punktsandsynlighed

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

9.D2.6 i - e ÆR Billedkilde: pixabay I et bestemt land har 0,4 % af alle kvinder fået foretaget en botox-behandling. T en model betegner den stokastiske variabel X det antal kvinder, der har fået foretaget en botox-behandling blandt 1000 tilfældigt udvalgte kvindelige indbyggere. Det antages, at X er binomialfordelt med antalsparameter n=1000 og sandsynlighedsparameter p=0,004. a) Bestem sandsynligheden P(X =10).

Løsning med TI-Nspire

Nspire · Calculator1.1

›binomPdf(1000, 0.004, 10)

→≈ 0.00529

Svar

ca. 0,0053.

9.D2.7Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Binomial · kumulativ

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

9.D2.7 19. VT 2 -v . - F T | I Å f % r e > å æ ? M P ' N Billedkilde: pixabay I et bestemt land viste en stor undersøgelse i 2005, at andelen af unge mellem 16 og 19 år, der røg dagligt, var 15 % I en model betegner den stokastiske variabel X antallet af daglige rygere, blandt 1700 tilfældigt udvalgte unge mellem 16 og 19 år. Det antages, at X er binomialfordelt med antalsparameter » = 1700 og sandsynligheds- parameter p=0,15. a) Bestem sandsynligheden P(X < 250), og gør rede for, hvad dette tal fortæller. Vejledende enkeltopgaver stx A December 2025 Side 151 af 157

Løsning med TI-Nspire

Nspire · Calculator1.1

›binomCdf(1700, 0.15, 0, 250)

→≈ 0.6075

P(X ≤ 250)

Svar

P(X ≤ 250) ≈ 0,608.

9.D2.8Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Binomial · hale og typetal

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

9.D2.8 - S 3 " —- Billedkilde: pxabay I Danmark holder 3 % af befolkningen fisk. Der udvælges på tilfældig måde en stikprøve på 450 personer. Den stokastiske variabel X betegner antallet af personer i denne stikprøve, der holder fisk. Det antages, at X'er binomialfordelt med antalsparameter n = 450 og sandsynlighedsparameter p=0,03. a) Bestem sandsynligheden P > 20), og forklar betydningen af dette tal. b) Hvad er det mest sandsynlige antal personer, der holder fisk, ud af de 450 i stikprøven?

Løsning med TI-Nspire

Nspire · Calculator1.1

›1 − binomCdf(450, 0.03, 0, 19)

→≈ 0.0357

P(X ≥ 20)

Nspire · Calculator1.1

›binomPdf(450, 0.03, 13)

→≈ 0.1141

typetal: floor((n+1)·p) = 13

Svar

a) ≈ 0,036. b) 13 personer.

9.D2.9Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Binomial · find n

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

9.D2.9 — Etfirma, der sælger blomsterløg, oplyser på deres hjemmeside, at 87 % af deres blomsterløg spirer. En kunde køber n blomsterløg. Den stokastiske variabel X betegner antallet af blomsterløg, der spirer. Det antages, at X er binomialfordelt med antalsparameter n og sandsynlighedsparameter p=0,87 . a) Bestem sandsynligheden P(X 2 45) for, at mindst 45 blomsterløg spirer, hvis n=50. b) Hvor mange blomsterløg skal kunden mindst købe, hvis P(X > 45) skal være større end 95 %?

Løsning med TI-Nspire

Nspire · Calculator1.1

›1 − binomCdf(50, 0.87, 0, 44)

→≈ 0.4163

Nspire · Calculator1.1

›1 − binomCdf(55, 0.87, 0, 44)

→≈ 0.933

for lille

Nspire · Calculator1.1

›1 − binomCdf(56, 0.87, 0, 44)

→≈ 0.954

>95% opfyldt ved n=56

Svar

a) ≈ 0,416. b) Mindst n = 56 løg.

9.D2.10Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Normal · invers

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

9.D2.10 — En normalfordelt stokastisk variabel X har middelværdi /1=6 og spredning & =1,3. a) Bestem tallet k, så P(X <k)=0,4.

Løsning med TI-Nspire

Menu → 6: Statistik → 5: Fordelinger → 3: Invers Normal

Nspire · Calculator1.1

›invNorm(0.4, 6, 1.3)

→≈ 5.67

Svar

k ≈ 5,67.

9.D2.11Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Normal · symmetrisk interval

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

9.D2.11 — En normalfordelt stokastisk variabel X har middelværdi /i=9 og spredning 0 =2. a) Bestem tallet k, så P(9 -k <X <9+k)=0,5. Vejledende enkeltopgaver stx A December 2025 Side 152 af 157

Løsning med TI-Nspire

Nspire · Calculator1.1

›solve(normCdf(9 − k, 9 + k, 9, 2) = 0.5, k)

→k ≈ 1.349

Svar

k ≈ 1,35.

9.D2.12Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Normal · hale

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

9.D2.12— Ien model kan levealderen (målt i år) for en bestemt hunderace beskrives ved en normalfordelt stokastisk variabel X med middelværdi /=8,1 og spredning & =1,6. a) Bestem P(X 29), og forklar, hvad dette tal fortæller om levealderen for hunderacen.

Løsning med TI-Nspire

Nspire · Calculator1.1

›normCdf(9, ∞, 8.1, 1.6)

→≈ 0.2877

P(X ≥ 9)

Svar

P(X ≥ 9) ≈ 0,288.

9.D2.13Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Normal · interval

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

9.D2.13— Ien model kan fødselsvægten (målt i g) for drenge i et bestemt land beskrives ved en normalfordelt stokastisk variabel X med middelværdi /1=3174 og spredning 0'=671. a) Bestem sandsynligheden for, at en nyfødt dreng i landet har en fødselsvægt mellem 3000 g og 4000 g,

Løsning med TI-Nspire

Nspire · Calculator1.1

›normCdf(3000, 4000, 3174, 671)

→≈ 0.5045

Svar

ca. 0,505.

9.D2.14Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Normal · fordelingsfunktion

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

9.D2.14— Ien model kan vægten (målt i gram) afen H bestemt slags citrusfrugt beskrives ved en a | L f nommalfordet stokastisk variabel X med— |1 . middelværdi 41 =42,1 og spredning i Q Å 0=56. , . i Lad F betegne fordelingsfunktionen for X. h * - a) Bestem F(50), og forklar, hvad . P ? ;?' talet foræller om citrustrugternes…— ØNDØDSN ØE N vægt. e S . P Billedkilde: pexels

Løsning med TI-Nspire

Nspire · Calculator1.1

›normCdf(-∞, 50, 42.1, 5.6)

→≈ 0.921

F(50)

Svar

F(50) ≈ 0,921.

9.D2.15Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Normal · hale og invers

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

9.D2.15 f B S G É e E5 Billedkilde: pexels I en model kan træernes højde (målt i meter) i en bestemt nåleskov beskrives ved en normalfordelt stokastisk variabel X med middelværdi /1=9,4 og spredning & =2,7. a) Bestem P(X < 6), og forklar, hvad dette tal fortæller om træernes højde i skoven. b) Hvor høje er de 10 % højeste træer i skoven? Vejledende enkeltopgaver stx A December 2025 Side 153 af 157

Løsning med TI-Nspire

Nspire · Calculator1.1

›normCdf(-∞, 6, 9.4, 2.7)

→≈ 0.1038

P(X ≤ 6)

Nspire · Calculator1.1

›invNorm(0.9, 9.4, 2.7)

→≈ 12.86

grænse for de 10% højeste

Svar

a) ≈ 0,104. b) ca. 12,9 m.

9.D2.16Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Normal · interval og kvalitet

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

9.D2.16 — Et firma producerer en bestemt type kraner. I en model kan løfteevnen (målt i kg) for disse kraner beskrives ved en normalfordelt stokastisk variabel X med middelværdi s = 7350 og spredning 0 =160. a) Bestem sandsynligheden P(7200< X < 7400) for, at en tilfældig af firmaets kraner har en løfteevne mellem 7200 kg og 7400 kg. Firmaet reklamerer med, at 95 % af deres kraner har en løfteevne på over 7000 kg. b) Undersøg, om firmaets kraner lever op til dette.

Løsning med TI-Nspire

Nspire · Calculator1.1

›normCdf(7200, 7400, 7350, 160)

→≈ 0.4112

Nspire · Calculator1.1

›normCdf(7000, ∞, 7350, 160)

→≈ 0.9854

>95%, så reklamen holder

Svar

a) ≈ 0,411. b) Ja, P(X > 7000) ≈ 98,5 %.

9.D2.17Delprøve 2 · alle hjælpemidler· Normal · interval og invers

Opgave (officiel ordlyd)

Opgavetekst (OCR — kan indeholde mindre fejl)

9.D2.17— 1en model kan den personlige IQ-score for indbyggerne i et bestemt land beskrives ved en normalfordelt stokastisk variabel X med middelværdi //=103,1 og spredning 0=19,4. a) Bestem sandsynligheden P(90'< X < 110) for, at en tilfældig indbygger i landet har en IQ-score mellem 90 og 110. b) Bestem tallet k, så P(X > k)=0,01, og forklar, hvad dette tal fortæller om 1Q-scoren i landet. Vejledende enkeltopgaver stx A December 2025 Side 154 af 157

Løsning med TI-Nspire

Nspire · Calculator1.1

›normCdf(90, 110, 103.1, 19.4)

→≈ 0.3947

Nspire · Calculator1.1

›invNorm(0.99, 103.1, 19.4)

→≈ 148.2

kun 1% har IQ over k

Svar

a) ≈ 0,395. b) k ≈ 148.